三年模拟一年创新2022届高考数学复习第六章第四节数列求和数列的综合应用理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·安徽安庆模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝tan225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2014＝(　　)A．2015B．－2015C．3021D．－3021解析　a1＝tan225°＝tan45°＝1，设等差数列{an}的公差为d，则由a5＝13a1，得a5＝13，d＝＝＝3，∴S2014＝－a1＋a2－a3＋a4＋…＋(－1)2014a2014＝－(a1＋a3＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋…＋a2014)＝1007d＝1007×3＝3021.故选C.答案　C2．(2022·辽宁沈阳模拟)数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝(　　)A.B.C.D.解析　法一　因为an＋m＝an＋am＋mn，则可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项an＝，∴＝＝2，∴＋＋＋…＋＝2＝2＝.故选D.法二　令m＝1，得an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，∴an＋1－an＝n＋1，用叠加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，9\n所以＝＝2.于是＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2＝，故选D.答案　D3．(2022·山东实验中学模拟)设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有(　　)A．11个B．12个C．15个D．25个解析　(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.答案　A4．(2022·天津调研)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝(　　)A．1300B．2600C．0D．2602解析　原问题可转化为当n为奇数时，an＋2－an＝0；当n为偶数时，an＋2－an＝2.进而转化为当n为奇数时，为常数列{1}；当n为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S100＝S奇＋S偶＝50×1＋(50×2＋×2)＝2600.答案　B5．(2022·山东菏泽二模)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－.则数列{an}的前n项和的取值范围是.答案　C9\n二、填空题6．(2022·绍兴调研)已知实数a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析　设公差为d，公比为q.则a＝a1·a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝－4d，所以q＝＝＝.答案　一年创新演练7．数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}前n项之积，则A2013＝________.解析　由a1＝3，an－anan＋1＝1，得an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝－，a4＝3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3＝－1，又2013＝3×671，所以A2013＝(－1)671＝－1.答案　－1B组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·吉林长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝(　　)A.B.C.D.解析　设bn＝nSn＋(n＋2)an，有b1＝4，b2＝8，则bn＝4n，即bn＝nSn＋(n＋2)an＝4n，当n≥2时，Sn－Sn－1＋an－an－1＝0，所以an＝an－1，即2·＝，所以是以为公比，1为首项的等比数列，9\n所以＝，an＝.故选A.答案　A9．(2022·广东揭阳一模)已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，＋＝，若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于，则n＝(　　)A．5B．6C．7D．8解析　令h(x)＝＝ax，∵h′(x)＝<0，∴h(x)在R上为减函数，∴0<a<1.由题知，a1＋a－1＝，解得a＝或a＝2(舍去)，∴＝，∴有穷数列的前n项和Sn＝＝1－＝，∴n＝5.答案　A二、填空题10．(2022·大同四校联考)已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列的最大项的值为．解析　依题意得a·b＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n；又a1＝1，因此an＝n，＝＝＝≤，当且仅当n＝，n∈N*，即n＝2时取等号，因此数列的最大项的值是.答案　三、解答题9\n11．(2022·杭州模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)令bn＝nan，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由已知，得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.由题意得q>1，所以q＝2.则a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝n·2n－1，n＝1，2，…，则Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，所以2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n×2n＝2n－n×2n－1，即Tn＝(n－1)2n＋1.12．(2022·江西省重点中学联考)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝Sncos(anπ)(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn.解　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则a2b2＝(3＋d)q＝12，S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d，则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12，即3d2－2d－21＝0，(3d＋7)(d－3)＝0.∵{an}是单调递增的等差数列，∴d>0，∴d＝3，q＝2，an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝2n－1.(2)由(1)知cn＝Sncos3nπ9\n＝①当n是偶数时，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－S1＋S2－S3＋S4－…－Sn－1＋Sn＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝6＋12＋18＋…＋3n＝.②当n是奇数时，Tn＝Tn－1－Sn＝－n2－n＝－(n＋1)2.综上可得，Tn＝13．(2022·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.(1)求证：{lgan}是等差数列；(2)设Tn是数列的前n项和，求Tn；(3)求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．(1)证明　依题意，a2＝9a1＋10＝100，故＝10.当n≥2时，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10，两式相减得an＋1－an＝9an，即an＋1＝10an，＝10，故{an}为等比数列，且an＝a1qn－1＝10n(n∈N*)，∴lgan＝n.∴lgan＋1－lgan＝(n＋1)－n＝1，即{lgan}是等差数列．(2)解　由(1)知，Tn＝3＝39\n＝3－.(3)解　∵Tn＝3－，∴当n＝1时，Tn取最小值.依题意有>(m2－5m)，解得－1<m<6，故所求整数m的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．一年创新演练14．观察下表：12，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15…(1)求此表中第n行的最后一个数；(2)求此表中第n行的各个数之和；(3)2014是此表中第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得从第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，则说明理由．解　(1)第n＋1行的第一个数是2n，故第n行的最后一个数是2n－1.(2)第n行的各数之和为：2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝·2n－1＝2n－2(2n－1＋2n－1)＝2n－2(3·2n－1－1)．(3)∵210＝1024，211＝2048，而1024<2014<2048，∴2014在表中的第11行．该行第一个数为210＝1024.∵2014－1024＋1＝991，∴2014为第11行的第991个数．(4)设第n行的所有数之和为an，从第n行起连续10行的所有数之和为Sn，则an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋159\n－2n＋7.∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋22n＋1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋2n＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2.当n＝5时，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.故存在n＝5，使得从第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设Tn为数列的前n项和，求Tn；(3)设bn＝，证明：b1＋b2＋b3＋…＋bn＜.(1)解　由题意，当n≥2时，有两式相减得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n,即an＋1－an＝2.由得a2－a1＝2.所以对一切正整数n，有an＋1－an＝2，故an＝a1＋2(n－1)＝2n，即an＝2n(n∈N*)．(2)解　由(1)，得＝＝，所以Tn＝1＋＋＋…＋，①①两边同乘以，得Tn＝＋＋…＋＋，②①－②，得Tn＝1＋＋＋…＋－，所以Tn＝－，故Tn＝4－.(3)证明　由(1)，得bn＝9\n＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝＝－＜.9