首页

五年高考真题2022届高考数学复习第六章第四节数列求和数列的综合应用理全国通用

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/11

2/11

剩余9页未读,查看更多内容需下载

考点一 数列求和1.(2022·新课标全国Ⅱ,3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(  )A.B.-C.D.-解析 设公比为q,则由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3-a2=10a1,故a3=9a1,所以q2=9.由a5=9,得a1=.答案 C2.(2022·大纲全国,5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(  )A.B.C.D.解析 由S5=5a3及S5=15得a3=3,∴d==1,a1=1,∴an=n,==-,所以数列的前100项和T100=1-+-+…+-=1-=,故选A.答案 A3.(2022·天津,4)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(  )A.-110B.-90C.90D.110解析 由题意得a=a3·a9,又公差d=-2,∴(a3-8)2=a3(a3-12),∴a3=16.∴S10===5(a3+a3+5d)=5×(16+16-10)=110,故选D.答案 D4.(2022·辽宁,14)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=________.解析 因为x2-5x+4=0的两根为1和4,又数列{an}是递增数列,所以a1=1,a3=4,所以q=2.11\n所以S6==63.答案 635.(2022·新课标全国Ⅱ,16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.解析 由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,所以Sn≠0,所以=1,即-=-1,故数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,得=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.答案 -6.(2022·新课标,16)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为________.解析 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)==30×61=1830.答案 18307.(2022·山东,18)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.解 (1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n),所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),11\n两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=+-(n-1)×31-n=-,所以Tn=-,经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=-.8.(2022·天津,18)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1),又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2.所以,{an}的通项公式为an=(2)由(1)得bn==.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×.上述两式相减得:11\nSn=1+++…+-=-=2--,整理得,Sn=4-,n∈N*.所以,数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*.9.(2022·山东,19)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+=1+=.所以Tn=11\n10.(2022·天津,19)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3.于是q2==.又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.故等比数列{an}的通项公式为an=×=(-1)n-1·.(2)由(1)得Sn=1-=当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1<Sn≤S1=,故0<Sn-≤S1-=-=.当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以=S2≤Sn<1,故0>Sn-≥S2-=-=-.综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.考点二 数列的综合问题1.(2022·福建,8)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(  )A.6B.7C.8D.9解析 由题意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有:a,-2,b;b,-2,a.∴或解之得:或11\n∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.答案 D2.(2022·浙江,3)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(  )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0解析 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故选B.答案 B3.(2022·广东,21)数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4-,n∈N*.(1)求a3的值;(2)求数列{an}前n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.(1)解 a1=1,a1+2a2=2,a2=,a1+2a2+3a3=4-,a3=.(2)解 n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-,与原式相减,得nan=,an=,n=1也符合,Tn==2-.(3)证明 n≥2时,bn=+an=+an故Sn=i=a1++a2++a3+…++an=a1+a2+a3+…+an=Tn11\n=<2,只需证明2<2+2lnn,n∈N*.对于任意自然数k∈N,令x=-∈(-1,0)时,ln+<0,即<ln(k+1)-lnk.∴k=1时,<ln2-ln1,k=2时,<ln3<ln2.…k=n-1时,<ln2-ln(n-1).∴1+++…+<1+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)],即1+++…+<1+lnn,所以n≥2时,2<2+2lnn,综上n∈N+时,Sn<2+2lnn.4.(2022·浙江,20)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{a}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).证明 (1)由题意得an+1-an=-a≤0,即an+1≤an,故an≤.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0<an≤得==∈[1,2],11\n即1≤≤2(2`)由题意得a=an-an+1,所以Sn=a1-an+1①由-=和1≤≤2得1≤-≤2,所以n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*).②由①②得≤≤(n∈N*).5.(2022·江西,17)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.解 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以-=2,即cn+1-cn=2.所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列{an}的前n项和Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.6.(2022·四川,19)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解 (1)由已知得,b7=,b8==4b7,有=4×2a7=.解得d=a8-a7=2.11\n所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意得,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以,Tn=.7.(2022·湖北,18)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解 (1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.11\n综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.8.(2022·北京,20)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值;(2)设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;(3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.(1)解 d1=d2=1,d3=d4=3.(2)证明 (充分性)因为{an}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,…).(必要性)因为dn=-d≤0(n=1,2,3,…),所以An=Bn+dn≤Bn.又因为an≤An,an+1≥Bn,所以an≤an+1.于是,An=an,Bn=an+1,因此an+1-an=Bn-An=-d=d,即{an}是公差为d的等差数列.(3)证明 因为a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故对任意n≥1,an≥B1=1.假设{an}(n≥2)中存在大于2的项.设m为满足am>2的最小正整数,则m≥2,并且对任意1≤k<m,ak≤2.又因为a1=2,所以Am-1=2,且Am=am>2.于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2.故dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与dm-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,an≤2=a1,所以An=2.故Bn=An-dn=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且am=1,即数列{an}有无穷多项为1.9.(2022·四川,20)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2an=S2+Sn对一切正整数n11\n都成立.(1)求a1,a2的值;(2)设a1>0,数列的前n项和为Tn.当n为何值时,Tn最大?并求出Tn的最大值.解 (1)取n=1,得a2a1=S2+S1=2a1+a2,①取n=2,得a=2a1+2a2,②由②-①,得a2(a2-a1)=a2,③(ⅰ)若a2=0,由①知a1=0,(ⅱ)若a2≠0,由③知a2-a1=1.④由①、④解得,a1=+1,a2=2+;或a1=1-,a2=2-.综上可得a1=0,a2=0;或a1=+1,a2=+2;或a1=1-,a2=2-.(2)当a1>0时,由(1)知a1=+1,a2=+2.当n≥2时,有(2+)an=S2+Sn,(2+)an-1=S2+Sn-1,所以(1+)an=(2+)an-1,即an=an-1(n≥2),所以an=a1()n-1=(+1)·()n-1.令bn=lg,则bn=1-lg()n-1=1-(n-1)lg2=lg,所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为-lg2),从而b1>b2>…>b7=lg>lg1=0,当n≥8时,bn≤b8=lg<lg1=0,故n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为T7===7-lg2.11

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

发布时间:2022-08-25 23:59:00 页数:11
价格:¥3 大小:90.09 KB
文章作者:U-336598

推荐特供

MORE