五年高考2022届高考数学复习第六章第一节数列的概念及简单的表示方法文全国通用

第一节　数列的概念及简单的表示方法考点　数列的概念及表示1.(2022·辽宁，4)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中的真命题为(　　)A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p4解析　如数列－2，－1，0，1，2，…，则1×a1＝2×a2，排除p2，如数列1，2，3，…，则＝1，排除p3，故选D.答案　D2.(2022·大纲全国，6)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)A.2n－1B.C.D.解析　∵a1＝1，Sn＝2an＋1，∴a2＝.∴Sn－1＝2an.两式作差则得到＝(n≥2).∴an＝∴Sn＝1＋＝.答案　B3.(2022·四川，9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于(　　)A.3×44B.3×44＋14\nC.45D.45＋1解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝　∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.答案　A4.(2022·新课标全国Ⅱ，16)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析　将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.答案　5.(2022·浙江，17)若数列{n(n＋4)}中的最大项是第k项，则k＝________.解析　由题意，得解得又k∈N*，所以k＝4.故填4.答案　46.(2022·江西，17)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.4\n(1)解　由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2.(2)证明　要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m＞n.所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.7.(2022·湖南，16)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.8.(2022·江西，16)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.4\n(2)由an＝2n，bn＝，则bn＝＝，Tn＝＝＝.9.(2022·四川，20)已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1＞0，λ＝100.当n为何值时，数列{lg}的前n项和最大？解　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1).若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.(2)当a1＞0且λ＝100时，令bn＝lg，由(1)有，bn＝lg＝2－nlg2.所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg2).b1＞b2＞…＞b6＝lg＝lg＞lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg＜lg1＝0，故数列{lg}的前6项的和最大.4