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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺第三篇回扣专项练4数列理

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【步步高】(全国通用)2022版高考数学复习考前三个月第三篇回扣专项练4数列理1.(2022·大连模拟)已知等差数列{an}的公差d<0,若a4·a6=24,a2+a8=10,则该数列的前n项和Sn的最大值为(  )A.50B.40C.45D.352.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-11,a5+a6=-4,Sn取得最小值时n的值为(  )A.6B.7C.8D.93.已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是(  )A.数列{bn}为等差数列,公差为qmB.数列{bn}为等比数列,公比为q2mC.数列{cn}为等比数列,公比为qm2D.数列{cn}为等比数列,公比为qmm4.(2022·德州模拟)定义数列{xn}:x1=1,xn+1=3x+2x+xn;数列{yn}:yn=;数列{zn}:zn=;若{yn}的前n项的积为P,{zn}的前n项的和为Q,那么P+Q等于(  )A.1B.2C.3D.不确定5.数列{an}满足a1=2,an+1=,bn=,n∈N*,则数列{bn}的通项公式bn=________.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.7.设数列an=log(n+1)(n+2),n∈N*,定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的实数k为中国梦吉祥数,则在[1,2016]内的所有中国梦吉祥数之和为________.8.设a1,a2,…,a50是从-1、0、1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+a3+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50中是数字0的个数为________.7\n9.对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1.其余项均为0,例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于___________________________;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.10.设数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=a+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an}的前n项和Sn.11.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=a-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a2=;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.7\n12.(2022·深圳模拟)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.7\n答案精析回扣专项练41.C[∵a4+a6=a2+a8=10,a4·a6=24,d<0,∴ ∴d==-1,∴an=a4+(n-4)d=10-n.∴当n=9或10时Sn取到最大值,S9=S10=45.]2.A[∵a5+a6=a1+a10=-11+a10=-4,∴a10=7,∴-11+9d=7,∴d=2,∴a7=a10-3d=1>0,a6=a10-4d=-1<0,故选A.]3.C[显然,{bn}不可能是等比数列;{cn}是等比数列;证明如下:cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2…am(n-1)+m,cn+1=amn+1·amn+2…amn+m,==qmqm…qm=(qm)m=qm2.]4.A[由题设可得:yn=,所以P=y1y2…yn=··…=.zn==yn(2+3xn)====-.所以Q=+++…+=-.所以P+Q=+-=+-=1.故选A.巧解:取n=1,可得P+Q=1,故选A.]5.2n+1解析 由条件得bn+1==7\n=2=2bn,且b1=4,所以数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列,则bn=4·2n-1=2n+1.6.6解析 每天植树棵数构成等比数列{an},其中a1=2,q=2.则Sn==2(2n-1)≥100,即2n+1≥102.∴n≥6,∴最少天数n=6.7.2026解析 a1·a2·a3·…·ak=log23·log34·…·log(k+1)(k+2)=log2(k+2),仅当k=2n-2时,上式为中国梦吉祥数.其和:21-2+22-2+…+210-2=2026.8.11解析 (a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则(a+a+…+a)+2(a1+a2+…+a50)+50=107,∴a+a+…+a=39,故a1,a2,…,a50中数字0的个数为50-39=11.9.(1)2 (2)17解析 (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”中共有3个1,其余均为0,该数列为1,0,1,0,1,0,0,…,0.故该数列前3项的和为2.(2)E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100中,由于p1=1,pi+pi+1=1(1≤i≤99),因此集合P中必含有元素a1.又当i=1时,p1+p2=1,且p1=1,故p2=0.同理可求得p3=1,p4=0,p5=1,p6=0,….故E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,…,1,0,即P={a1,a3,a5,a7,…,a99}.E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100中,由于q1=1,qj+qj+1+qj+2=1(1≤j≤98),因此集合Q中必含有元素a1.又当j=1时,q1+q2+q3=1,当j=2时,q2+q3+q4=1,当j=3时,q3+q4+q5=1,…,故q1=1,q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0,q7=1,….所以E的子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0,…,0,1,即Q={a1,a4,a7,a10,…,a100}.因为100=1+(n-1)×3,故n=34,所以集合Q中有34个元素,其下标为奇数的有17个.因此P∩Q={a1,a7,a13,a19,…,a97},共有17个元素.10.(1)证明 由4Sn=a+2an-3,4Sn+1=a+2an+1-3,得4an+1=a-a+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0.7\n当n≥11时,an>0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解 由4a1=a+2a1-3,得a1=3或a1=-1.又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.所以an=所以Sn=11.(1)证明 当n=1时,4a1=a-5,a=4a1+5,因为an>0,所以a2=.(2)解 当n≥2时,4Sn-1=a-4(n-1)-1,4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4,a=a+4an+4=(an+2)2,因为an>0,所以an+1=an+2,当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.因为a2,a5,a14构成等比数列,a=a2·a14,(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3,由(1)可知,4a1=a-5=4,a1=1,又因为a2-a1=3-1=2,则{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.数列{an}的通项公式为an=2n-1.(3)证明 ++…+=+++…+=[+++…+]=<.12.(1)解 令n=1代入得a1=2(负值舍去).(2)解 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*得,[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0.又已知各项均为正数,故Sn=n2+n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,a1=2也满足上式,所以an=2n,n∈N*.(3)证明 ∵4k2+2k-(3k2+3k)7\n=k2-k=k(k-1)≥0,k∈N*,∴4k2+2k≥3k2+3k,∴==≤=(-).∴++…+≤(-+-+…+-)=(1-)<.7

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发布时间:2022-08-25 23:55:20 页数:7
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文章作者:U-336598

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