全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺中档大题规范练4数列理

【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练4数列理1.数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2).求数列{an}的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2an＝p·a(其中p为非零常数，n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn.8\n3.(2022·广州模拟)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.8\n4.(2022·南京模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn＝an＋2n.(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若数列cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，证明：Tn<3.8\n5.(2022·长沙模拟)已知数列{an}中，a2＝p(p是不等于0的常数)，Sn为数列{an}的前n项和，若对任意的正整数n都有Sn＝.(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Tn；(3)记cn＝Tn－2n，是否存在正整数N使得当n>N时，恒有cn∈.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn<m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由.8\n答案精析中档大题规范练41.解　由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，即＝1，所以－＝.又S1＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列.所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此an＝2.解　(1)由an＋2an＝p·a，得＝p·.令cn＝，则c1＝1，cn＋1＝pcn.所以＝p(p为非零常数)，所以数列是首项为1，公比为p的等比数列，所以＝pn－1.当n≥2时，an＝··…··a1＝pn－2·pn－3·…·p0·1＝p，因为a1也满足上式，所以an＝p，n∈N*.(2)＝·＝pn·pn－1＝p2n－1，bn＝＝np2n－1.Sn＝1×p1＋2×p3＋…＋n×p2n－1，①p2Sn＝1×p3＋…＋(n－1)×p2n－1＋n×p2n＋1，②8\n当p2≠1，即p≠±1时，由①－②得(1－p2)Sn＝p1＋p3＋…＋p2n－1－np2n＋1＝－np2n＋1，即Sn＝－，p≠±1.而当p＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝，当p＝－1时，Sn＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n)＝－.综上所述，Sn＝3.解　函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝.所以Sn＝.4.(1)解　当n≥2时，由⇒2an＝an＋1－an－2n⇒an＋1＝3an＋2n，从而bn＋1＝an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)＝3bn，故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，bn＝an＋2n＝3×3n－1＝3n，an＝3n－2n(n≥2)，因为a1＝1也满足，于是an＝3n－2n.(2)证明　cn＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②8\n①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－，故Tn＝3－<3.5.(1)证明　由a1＝S1＝＝0，得a1＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，故(n－2)an＝(n－1)an－1.故当n>2时，an＝an－1＝××…××××a2＝(n－1)p，由n＝2时，a2＝p，n＝1时，a1＝0也适合该式，故对一切正整数n，有an＝(n－1)p，an＋1－an＝p，由于p是常数，故数列{an}是以首项为0，公差为p的等差数列.(2)解　由(1)，得Sn＝＝，故bn＝＋＝＋＝2＋2，所以Tn＝2n＋2(1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－)＝2n＋2(1＋－－)＝2n＋3－2(＋).(3)解　cn＝Tn－2n＝3－2<3对所有正整数n都成立.若cn>，则3－2>，即＋<，记f(n)＝＋，则f(n)单调递减，又f(6)＝＋>＋＝，f(7)＝＋<＋＝，8\n故只要取N＝6，故当n>N时，f(n)<.故存在正整数N使得当n>N时，恒有cn∈，N可以取所有不小于6的正整数.6.解　(1){an}为等差数列，∵a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d>0，∴a2<a4，∴a2＝5，a4＝13.∴∴a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3.由于1<i<21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，∴a1·a21＝a，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，所以bn＝＝，b1＋b2＋…＋bn＝＝<，所以存在m＝使b1＋b2＋…＋bn<m对于任意的正整数n均成立.8