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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺中档大题规范练7综合练理

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【步步高】(全国通用)2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练7综合练理1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且sinAsinC=.(1)求角B的大小;(2)若x∈[0,π),求函数f(x)=sin(x-B)+sinx的值域.2.2022届高三学生参加自主招生考试,某辅导学校针对自主招生计划开设a,b,c三个班,据统计,某班每位同学报名参加这三个班的概率分别为,,,并且报名参加三个班之间互不影响.(1)该班现有甲、乙、丙、丁4名同学,求这4名同学中至少有3名同学报名参加a班的概率;(2)若用X表示该班甲同学报名参加的班次,求X的分布列与数学期望.8\n3.如图所示的多面体中,ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A—FC—E的余弦值.8\n4.数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数f(x)=3x2-2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<对所有的n∈N*都成立的最小值m.5.已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1,f′(1)=0,(1)求f(x);(2)求f(x)的最大值;(3)若x>0,y>0,证明:lnx+lny≤.8\n6.设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右两个焦点,若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标;(2)过点P的直线与椭圆交于两点D、E,若DP=PE,求直线DE的方程;(3)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,若△OMN面积取得最大,求直线MN的方程.答案精析中档大题规范练71.解 (1)因为a,b,c成等比数列,则b2=ac.由正弦定理得sin2B=sinAsinC.又sinAsinC=,所以sin2B=.因为sinB>0,则sinB=.因为B∈(0,π),所以B=或.又b2=ac,则b≤a或b≤c,即b不是△ABC的最大边,故B=.(2)因为B=,则f(x)=sin+sinx8\n=sinxcos-cosxsin+sinx=sinx-cosx=sin.因为x∈[0,π),则-≤x-<,所以sin∈.故函数f(x)的值域是.2.解 (1)记“这4名同学中至少有3名同学报名参加a班”为事件M,则P(M)=C3+C40=.(2)记“甲同学报名参加a班”为事件A,“甲同学报名参加b班”为事件B,“甲同学报名参加c班”为事件C,由条件可知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××==,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××==,P(X=3)=P(ABC)=××=.所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=.3.(1)证明 方法一 在△AEF中,AE=,EF=,AF=2,∴AE2+EF2=AF28\n,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2,∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又∵EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF,又∵FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.方法二 ∵ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2.∵ED⊥平面ABCD,BD=2,BF=2DE=2,故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),∴=(-,-1,),=(,1,2).∴·=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解 由(1)知A(,0,0),C(-,0,0),F(0,1,2),E(0,-1,),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-),设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1).由·n1=0,·n1=0,得-x1+y1+2z1=0且-2x1=0,令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由·n2=0,·n2=0,得2y2+z2=0且-x2+y2-z2=0,令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A—FC—E的大小为θ,则cosθ===.8\n即二面角A—FC—E的余弦值为.4.解 (1)因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,所以Sn=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5(n∈N*).(2)由(1)得知bn===,故Tn=bi=[++…+]=.因此,要使<(n∈N*)成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥30,所以满足要求的最小值m为30.5.(1)解 由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,∴f(x)=lnx-x为所求.(2)解 ∵x>0,f′(x)=-1=,x0<x<1x=1x>1f′(x)+0-f(x)↗极大值↘∴f(x)在x=1处取得极大值-1,即所求最大值为-1.(3)证明 由(2)得lnx≤x-1恒成立,∴lnx+lny=+≤+=成立.6.解 (1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2;又点A在椭圆上,因此+=1.得b2=1,于是c2=3;8\n所以椭圆C的方程为+y2=1,焦点F1(-,0),F2(,0).(2)∵P在椭圆内,∴直线DE与椭圆相交,∴设D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆C的方程得x+4y-4=0,x+4y-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1.∴DE方程为y-=-(x-1),即4x+4y-5=0.(3)直线MN不与y轴垂直,∴设MN方程为my=x-1,代入椭圆C的方程得(m2+4)y2+2my-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,且Δ>0成立.又S△OMN=|y1-y2|=×=,设t=≥,则S△OMN=,′=1-t-2>0对t≥恒成立,∴t=时,t+取得最小,S△OMN最大,此时m=0,∴MN方程为x=1.8

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发布时间:2022-08-25 23:55:27 页数:8
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文章作者:U-336598

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