新课标2022届高考数学二轮复习专题一集合逻辑用语不等式向量复数算法推理专题能力训练3平面向量与复数理

专题能力训练3　平面向量与复数能力突破训练1.(2022全国Ⅰ,理3)设有下面四个命题p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为(　　)A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3.若z=1+2i,则4izz-1=(　　)A.1B.-1C.iD.-i4.在复平面内,若复数z的对应点与5i1+2i的对应点关于虚轴对称,则z=(　　)A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)A.-1B.0C.1D.26.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为(　　)A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p47.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=(　　)A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)A.4B.-4C.94D.-94-5-\n9.(2022浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则(　　)A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(2022全国Ⅰ,理13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　　. 11.(2022天津,理13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　　. 12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　　　　　. 13.(2022浙江,12)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　. 14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=12|AB|,|BE|=23|BC|.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　. 思维提升训练15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,CD=13CA+λCB,则实数λ=(　　)A.-23B.-13C.13D.2316.已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于(　　)A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为(　　)A.2B.3C.4D.618.(2022浙江,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　. 19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ=　　　　. 20.(2022天津,理9)已知a∈R,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为　　　　　. 参考答案-5-\n专题能力训练3　平面向量与复数能力突破训练1.B　解析p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1z=1a+bi=a-bia2+b2∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C　解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cosθ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.C　解析由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.4.D　解析5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C　解析∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.C　解析z=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,故|z|=2,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.7.D　解析如图,设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a2=32a2.8.B　解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C　解析由题图可得OA<12AC<OC,OB<12BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=OB·OC>0,I1=OA·OB<0,I3=OC·OD<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10.23　解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12,所以|a+2b|=12=23.11.311　解析∵BD=2DC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4,-5-\n∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(λAC-AB)=-4,即2λ3AC2-13AB2+λ3-23AB·AC=-4,∴2λ3×4-13×9+λ3-23×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311.12.-1　解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.5　2　解析由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.14.12　解析由题意DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC,故λ1=-16,λ2=23,即λ1+λ2=12.思维提升训练15.D　解析如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则CD=CE+CF.因为CD=13CA+λCB,所以CE=13CA,CF=λCB.由△ADE∽△ABC,得DEBC=AEAC=23,所以ED=CF=23CB,故λ=23.16.A　解析以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B1t,0,C(0,t),∴AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),∴AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P-5-\n的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),∴PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17≤-4+17=13.当且仅当1t=4t,即t=12时取“=”,∴PB·PC的最大值为13.17.B　解析因为M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),NP=(x-3,y).由|MN|·|MP|+MN·NP=0,得6(x+3)2+y2+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.18.4　25　解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=12+22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ,|a+b|=12+22-2×1×2×cos(π-θ)=5+4cosθ,则|a+b|+|a-b|=5+4cosθ+5-4cosθ.令y=5+4cosθ+5-4cosθ,则y2=10+225-16cos2θ∈[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.19.1　解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因为AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.①同理EF=ED+DC+CF.②由①+②得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC).所以λ=12,μ=12.所以λ+μ=1.20.-2　解析∵a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,∴-a+25=0,即a=-2.-5-