浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题1
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浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题1本试卷分第I卷和第II卷两部分.考试时间120分钟,满分150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式:如果事件A,B互斥,那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A,B相互独立,那么其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高P(A·B)=P(A)·P(B)棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么nV=Sh次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高Pn(k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)球的表面积公式棱台的体积公式S=4πR2球的体积公式其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,V=πR3h表示棱台的高其中R表示球的半径第I卷(共50分)?输出开始结束是否(第5题)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合,,则()(A)(B)(C)(D)(2)已知且,则是的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)若复数(是虚数单位),则()(A)(B)(C)(D)(4)(引用)在的展开式中,的幂指数是整数的项共有()(A)3项(B)4项(C)5项(D)6项17\n(5)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是()(A)(B)(C)(D)(6)(根据宁波市2022届高三上期末测试4题改编)函数则该函数为()(A)单调递增函数,奇函数(B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数(D)单调递减函数,偶函数(7)(根据2022浙江省高考参考试卷第7题改编)已知中,,.若圆的圆心在边上,且与和所在的直线都相切,则圆的半径为()(第8题)(A)(B)(C)(D)(8)(引用)某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为的等腰三角形俯视图是半径为的半圆,则该几何体的表面积是()(A)(B)(C)(D)(9)(根据2022萧山中学3月月考10题改编)已知点是双曲线的左焦点,过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点,且点在抛物线上,则该双曲线的离心率是()(A)(B)(C)(D)(第10题)(10)(根据2022届杭州一模17题改编)如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,,若存在最大值,则的取值范围为()(A)(B)(C)(D)第II卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.17\n(11)(引用)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是,那么实数的值为_______▲_____.(12)(引用)记数列的前项和为,且,则_______▲______.(13)将7人分成3组,要求每组至多3人,则不同的分组方法种数是__▲____.(14)已知为直线上一动点,若在上存在一点使成立,则点的横坐标取值范围为_____▲____.(15)函数,在区间上单调递增,则实数的取值范围是_____▲____.(16)(根据09年全国数学联赛题改编)若方程没有实数根,那么实数的取值范围是___▲___.(17)(根据2022浙江六校联盟10题改编)棱长为2的正四面体在空间直角坐标系中移动,但保持点分别在轴、轴上移动,则原点到直线的最近距离为____▲____三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(18)(根据北京市东城区08届模拟考改编)(本小题满分14分)在中,角的对边分别为,且.(I)求的值;(II)若,且,求和的值.(19)(本小题满分14分)袋中有大小相同的个编号为、、的球,号球有个,号球有个,号球有个.从袋中依次摸出个球,已知在第一次摸出号球的前提下,再摸出一个号球的概率是.(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)从袋中任意摸出个球,记得到小球的编号数之和为,求随机变量的分布列和数学期望.(20)(引用)(本小题满分14分)如图,在各棱长均为的三棱柱17\n中,侧面底面,.(Ⅰ)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;(第20题)(Ⅱ)已知点满足,在直线上是否存在点,使?若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.(21)(根据09年清华大学自主招生试题改编)(本小题满分15分)已知椭圆的左顶点,过右焦点且垂直于长轴的弦长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,过原点与平行的直线与椭圆交于点,求证:为定值.(22)(本小题满分14分)已知函数.()(Ⅰ)若在区间上单调递增,求实数的取值范围;(Ⅱ)若在区间上,函数的图象恒在曲线下方,求的取值范围.17\n2022年高考模拟试卷数学(理科)答卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。题目12345678910选项二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。11、12、13、14、15、16、17、三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、(本题14分)17\n19、(本题14分)(第20题)20、(本题14分)17\n21、(本题15分)17\n22、(本题15分)17\n2022年高考模拟试卷数学(理科)参考答案与评分标准一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,共50分.(1)B(2)A(3)D(4)C(5)C(6)A(7)B(8)B(9)D(10)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,共28分.(11)1(12)(13)(14)(15)(16)(17)(1)B.本题考查集合运算.易得,故.(2)A.本题考查充分必要条件.或,故成立,为充分条件;而或,若,则无意义,则为不必要条件.17\n(3)D.本题考查复数的运算.由于,故,整理可得.(4)C.本题考查二项式定理.第项,故当时,的幂指数是整数,共5项.(5)C.本题考查算法程序运算.由题意可知即求时,的最小值,故.(6)A.,且时,单调递增;时,单调递增。所以单调递增。,,所以为奇函数。故选A。(7)B.本题考查解三角形。如图,易得,由于为等腰三角形,故应为中点,即求中点到距离,由面积法可得.(8)B.本题考查三视图.根据三视图可知,几何体为如图所示的半圆锥,则.(9)D.本题考查圆锥曲线几何性质.如图,设抛物线的准线为,作于,双曲线的右焦点为,由题意可知为圆的直径,所以,且,,所以,。由抛物线性质可知,且与相似,所以,即,解得。(10)C。本题考查平面向量运算与基本定理的运用。设射线上存在为,使,交于,,设,,17\n由三点共线可知=1,所以,则存在最大值,即在弧(不包括端点)上存在与平行的切线,所以。(11)1.本题考查线性规划基本知识的应用.如图阴影部分为可行域,为等腰直角三角形,所以,解得.(12).本题考查数列基本知识.当时,,由,即,所以,.(13).本题考查排列组合的应用.共可分为两类:每组分别为人,则有人;每组分别为人,则有人;所以共有人.(14).本题考查直线与圆的位置关系.设,则圆心到直线的距离,由于直线与圆相交,故,即,所以,解得.(15)。本题考查三角函数图像与性质的运用。当函数递增时,,即,所以,解得。(16).本题考查函数性质与方程思想及数形结合思想。解法一:由题意可知17\n,可设,函数图象(图1)与直线没有交点,则.解法二:如图(2),在同一坐标系中画出和的图象.显然当是直线与抛物线相切,所以当时,没有交点.故.图1图2(17)。本题考查立体几何。解:如图,若固定正四面体的位置,则原点在以为直径的球面上运动,设中点为,则原点到直线的最近距离等于点到直线的距离减去球的半径,即。三、解答题:大题共5小题,满分72分.(18)本题主要考查正弦、余弦定理,三角公式变换,三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。解:(I)由正弦定理得,则,…………2分故,可得,即,可得,…………4分又,因此.…………6分17\n(II)解:由,可得,又,故.…………9分又,可得,…………11分所以,即.所以.…………14分(19)本题主要考查排列组合,随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括能力。满分14分。解:(1)记“第一次摸出号球”为事件,“第二次摸出号球”为事件,…………2分则,…………4分解得;…………6分(2)随机变量的取值为,的分布列为3456…………10分所以,数学期望.…………14分(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,17\n空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。解:(Ⅰ)∵侧面底面,作于点,∴平面.又,且各棱长都相等,∴,,.…2分故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,∴,,.……4分设平面的法向量为,则解得.………6分由.而侧棱与平面所成角,即是向量与平面的法向量所成锐角的余角,∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为.…………8分(Ⅱ)∵,而∴又∵,∴点的坐标为.…………10分假设存在点符合题意,则点的坐标可设为,∴.∵,为平面的法向量,∴由,得17\n.…………12分又平面,故存在点,使,其坐标为,即恰好为点.…………14分(21)本题主要考椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。解:(1),设过右焦点且垂直于长轴的弦为,将代入椭圆方程,解得,…………2分故,可得.…………4分所以,椭圆方程为.…………6分(2)由题意知,直线斜率存在,故设为,则直线的方程为,直线的方程为.可得,则.…………8分设,,联立方程组,消去得:,,,17\n则.…………11分设与椭圆交另一点为,,联立方程组,消去得,,所以.…………13分故.所以等于定值.…………15分(22)本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识,同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分15分。解:(Ⅰ)在区间上单调递增,则在区间上恒成立.…………3分即,而当时,,故.…………5分所以.…………6分(Ⅱ)令,定义域为.在区间上,函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立.…………8分∵…………9分17\n①若,令,得极值点,,当,即时,在(,+∞)上有,此时在区间上是增函数,并且在该区间上有,不合题意;当,即时,同理可知,在区间上,有,也不合题意;…………12分②若,则有,此时在区间上恒有,从而在区间上是减函数;要使在此区间上恒成立,只须满足,由此求得的范围是.…………14分综合①②可知,当时,函数的图象恒在直线下方.…………15分17
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