浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题13
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浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题13学科:高三数学(理科)满分:150分考试时间:120分钟一、选择题。(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、已知集合,集合,集合,则()ABCD2、“”是“函数在区间上为减函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件开始结束是否输出S第3题图S=0k=1k>2022k=k+13、右图是某程序的流程图,则其输出结果为()ABCD4、已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.B.C.D.5、(原创)把函数的图像上向右平移,再把图像上各点的横坐标变为原来的2倍,则所得的图像的一条对称轴方程为()A、B、C、D、6、设,若,则实数的值为()A.B.C.D.7、(2022全国卷改编)数列满足,则的前60项和等于()A、960B、1920C、930D、18308、已知函数,若,则的取值范围是()A.[3,5)B.[3,)C.(0,3]D.[2,3)9、(2022年江苏一检卷改编)已知函数满足:①定义域为R;②,有9\n;③当时,,,设根据以上信息,可以得到函数的零点个数为()A、4B、5C、9D、810、(2022年高考自测样卷改编)已知向量满足,的夹角为,。若对每一个确定的,的最大值和最小值分别为,则对任何的,的最小值是()A.B.C.2D.1二、填空题。(本大题共7小题,共28分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上。)11、复数,,若为纯虚数,则的值为________12、已知某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是.正视图侧视图俯视图443(12题图)13、(2022·江苏,4)某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有________根棉花纤维的长度小于20mm(13题图).14、已知实数,满足不等式,则的取值范围是15、(2022年浙江五校联考卷)在1,2,3,4,5,6,7的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有_______________16、(艾青中学2022年模拟)在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线()上任意一点P,若点P在轴、轴上的射影分别为、,则9\n必为定值”.类比于此,对于双曲线上任意一点P,类似的命题为:_______________17、过椭圆的左顶点A做圆的切线,切点为B,延长AB交抛物线于于点C,若点B恰为A、C的中点,则的值为三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、在锐角△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为,,,若,(1)若,求的大小。(2)若三角形为非等腰三角形,求的取值范围。19、(2022·山东理,18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘,已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.20、如下图所示,平面四边形PABC中,为直角,为等边三角形,现把沿着AB折起,使得垂直,且点M为AB的中点。(1)求证:平面PAB⊥平面PCM(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的余弦值。9\nABPC21、(2022.镇海中学高三模拟.21)在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线相交于、两点.(I)设,求的最小值;(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.22、(2022.广东陆丰碣石中学.21)已知函数(1)求函数f(x)的极值;(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;(3)求证.双向细目表题型题号分值考察内容难易度简单中等较难选择题5015集合及其交并补运算√25充要条件的判断√35程序框图及数列求和运算√9\n45立体几何线面位置判断√55三角函数图像伸缩平移变换√65二项式展开以及系数运算√75数列运算√85函数图像,函数值域问题√95函数零点个数判断√105向量运算√填空题28114复数及其运算√124三视图求体积√134统计初步√144线性规划√154排列组合计算√164推理证明以及双曲线的特征推理√174圆锥曲线综合问题√解答题721814三角函数与解三角形√1914概率、分布列、数学期望√2014立体几何证明、求线面角√2115圆锥曲线综合应用√2215函数极值与恒成立问题及不等式证明√2022年高考模拟试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号12345678910答案BACBAAABDD二、填空题11、12、1613、3014、15、86416、若P在直线上的射影分别为M、N,则必为定值17、9\n三、解答题18、解:(1)··········2分········3分所以·········4分(a)若,,则.········5分(b)若,,则.·········6分(2)若三角形为非等腰三角形,则且········8分又因为三角形为锐角三角形,故···········10分而··········12分所以············14分19、解:(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5由对立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.红队至少两人获胜的事件有:,,,DEF.········2分由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P=P()+P(+P()+P(DEF)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.········6分(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知、、是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,因此P(ξ=0)=P()=0.4×0.5×0.5=0.1,·········7分P(ξ=1)=P()+P()+P()=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35.·········9\n8分P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.·········9分由对立事件的概率公式得P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4.···········10分所以ξ的分布列为:ξ0123P0.10.350.40.15·············12分因此E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.·············14分20、ABPC(1)证明:且交线为AB又为直角所以··········2分故·········3分又为等边三角形,点M为AB的中点所以··········4分又所以·········5分又所以平面PAB⊥平面PCM·········6分(2)假设PA=a,则AB=2a方法一:(等体积法)··············8分而三角形PMC为直角三角形,故面积为·············10分9\n故··················12分所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值········13分xyz所以余弦值为·············14分方法二:(向量坐标法)以M点为坐标原点,以MB为x轴,以MC为y轴,且设PA=a,则M(0,0,0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,,0)················8分故·假设平面PMC的法向量为则y=0,x=z,令x=1故················11分则直线BC与平面PMC所成角的正弦值,····13分所以余弦值为················14分21、解:(I)依题意,可设,,直线AB的方程为:由··········2分当m=0时的最小值为.·············7分(II)假设满足条件的直线存在,其方程为x=a,AC的中点为,与以AC为直径的圆相交于P,Q,PQ中点为H,则,的坐标为.·············9分9\n…………………13分令=0得.此时为定值.故满足条件的直线存在,其方程为x=…………………15分22、解:(1)因为,x>0,则,………1分当时,;当时,.所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减,所以函数在处取得极大值f(1)=1,无极小值。…………3分(2)不等式即为记所以…………7分令,则,,在上单调递增,,从而,故在上也单调递增,所以,所以.………9分(3)由(2)知:恒成立,即,令,则9
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