(浙江专用)2022届高考数学 冲刺必备 “10+7”提速专练卷(六)
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“10+7”提速专练卷(六)限时:50分钟 满分:78分一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分)1.已知i为虚数单位,复数z=,则复数z在复平面上的对应点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:选B ∵z====-1+2i,∴复数z在复平面上的对应点的坐标是(-1,2),相应的点位于第二象限.2.函数f(x)=sinxsin的最小正周期为( )A.2πB.C.πD.解析:选C 注意到f(x)=sinxsin=sinx·=sin2x-sinxcosx=-sin2x=-sin,因此函数f(x)的最小正周期是π.3.已知α、β是不同的平面,m、n是不同的直线,给出下列命题:①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③如果m⊂α,n⊄α,m、n是异面直线,那么n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:选B 对于①,由定理“一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直”知,①正确;对于②,注意到直线m、n可能是平面α内的两条平行直线,此时不能断定α∥β,因此②不正确;对于③,满足条件的直线n可能平行于平面α,因此③不正确;对于④,由定理“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行”知,直线n平行于平面α、β,因此④正确.综上所述,其中正确命题的个数是2.6\n4.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( )A.B.C.[-1,6]D.解析:选A 不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数,其最大值在点A(2,0)处取得,最小值在点B处取得,即最大值为6,最小值为-.5.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则·=( )A.B.C.D.解析:选A 依题意,不妨设=,=2,则有-=(-),即=+;-=2(-),即=+.所以·=·=(2+)·(+2)=(22+22+5·)=(2×22+2×12+5×2×1×cos60°)=.6.设连续投掷两次骰子得到的点数分别为m和n,若向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈的概率是( )A.B.C.D.6\n解析:选C 由题意可知,若向量a与向量b的夹角θ∈,则a·b=m-n≥0,即m≥n.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1,2;当m=3时,n=1,2,3;当m=4时,n=1,2,3,4;当m=5时,n=1,2,3,4,5;当m=6时,n=1,2,3,4,5,6.故满足条件的事件个数为1+2+3+4+5+6=21.易得抛掷两次骰子得到的点数组合有36个.因此,所求概率P==.7.在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,且矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上,若四棱锥O-ABCD的体积为8,则球O的半径R=( )A.3B.C.2D.4解析:选D 设四棱锥O-ABCD的高为h,则有×4×2×h=8,故h=1;又OA=OB=OC=OD,因此点O在平面ABCD上的射影是底面矩形ABCD的中心,于是有R===4.8.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.4,8B.2,6C.6,8D.8,12解析:选A 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,设椭圆的左、右焦点分别为A、B.由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=6,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2×1=4;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2×1=8,即最小值和最大值分别为4,8.9.若双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶3的两段,则此双曲线的离心率为( )A.B.C.D.6\n解析:选B 依题意得,c+=×2c,即b=c(其中c是双曲线的半焦距),a==c,则=,因此该双曲线的离心率等于.10.已知函数f(x)=2x-1(x∈R).规定:给定一个实数x0,赋值x1=f(x0),若x1≤257,则继续赋值x2=f(x1);若x2≤257,则继续赋值x3=f(x2);……以此类推.若xn-1≤257,则xn=f(xn-1),否则停止赋值.已知赋值k(k∈N*)次后该过程停止,则x0的取值范围是( )A.(27-k+1,28-k+1]B.(28-k+1,29-k+1]C.(29-k+1,210-k+1]D.(28-k,29-k]解析:选B 依题意得xn=2xn-1-1,则xn-1=2(xn-1-1),于是xn-1=2n(x0-1),即xn=2n(x0-1)+1.依题意有即即由此解得28-k+1<x0≤29-k+1,即x0的取值范围是(28-k+1,29-k+1].二、填空题(共7个小题,每小题4分,共28分)11.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=________.解析:由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10⇒a10=S10-S9=S1=a1=1.答案:112.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s=________.解析:当k=1时,1<4,则执行循环体得:s=1,k=2;当k=2时,2<4,则执行循环体得:s=0,k=3;当k=3时,3<4,则执行循环体得:s=-3,k=4;当k=4时不满足条件,则输出s=-3.答案:-313.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的外接球体积为________.6\n解析:设该三棱锥的外接球的半径是R.依题意得,该三棱锥的形状如图所示,其中AB⊥平面BCD,AB=2,CD=2,BC=BD=2,BC⊥BD,因此可将其补形成一个棱长为2的正方体,则有2R=2,R=,所以该三棱锥的外接球体积为×()3=4π.答案:4π14.若圆(x-1)2+(y+1)2=1上总存在两点关于直线ax-by-2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为________.解析:依题意知圆心(1,-1)在直线ax-by-2=0上,即a+b=2,故+=(a+b)=≥(2+2)=2,当且仅当a=b时等号成立,所以+的最小值为2.答案:215.令f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*).如果对k(k∈N*),满足f(1)·f(2)·…·f(k)为整数,则称k为“好数”,那么区间[1,2012]内所有的“好数”的和M=________.解析:对任意正整数k,有f(1)·f(2)·…·f(k)=log23·log34·…·logk+1(k+2)=··…·==log2(k+2).若k为“好数”,则log2(k+2)∈Z,从而必有k+2=2l(l∈N*).令1≤2l-2≤2012,解得2≤l≤10,所以区间[1,2012]内所有“好数”的和M=(22-2)+(23-2)+…+(210-2)=(22+23+…+210)-2×9=2026.答案:202616.设a,b为正实数.现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b<1;②若-=1,则a-b<1;③若|-|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)解析:对于①,若a-b≥1,则由a2-b2=1得a2-b2=(a-b)(a+b)=1,又a>0,b>0,于是有a+b>a-b≥1,此时(a+b)·(a-b)>1这与“a2-b2=(a+b)(a-b)=1”相矛盾,因此a-b<1,①正确;对于②,取a=2,b=,有-=1,此时a-b>1,因此②不正确;对于③,取a=9,b=4,有|-|=1,但此时|a-b|=5>1,因此③不正确;对于④,由|a3-b3|=1得|a-b|(a2+ab+b2)=1,|a-b|(a2+ab+b2)>|a-b|·(a2-2ab6\n+b2)=|a-b|3,于是有|a-b|3<1,|a-b|<1,因此④正确.综上所述,其中的真命题有①④.答案:①④17.设实数x,y满足约束条件若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为13,则a+b的最小值为________.解析:如图所示,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线abx+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(1,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时目标函数z=abx+y(a>0,b>0)取得最大值,依题意有ab×1+4=13,即ab=9,其中a>0,b>0,所以a+b≥2=2=6,当且仅当a=b=3时取等号,因此a+b的最小值为6.答案:66
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