(浙江专用)2022届高考数学 冲刺必备 专题滚动检测(六)
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(浙江专用)2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测(六)限时:90分钟 满分:122分一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分)1.i是虚数单位,复数=( )A.1-i B.-1+iC.1+iD.-1-i解析:选C ====1+i.2.设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=( )A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]解析:选D 由题可知A={x|-1≤x≤2},B={x|x>1},故A∩B=(1,2].3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )A.101B.808C.1212D.2012解析:选B 依题意得知,甲社区驾驶员的人数占总人数的=,因此有=,解得N=808.4.(2022·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据.则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数C.中位数D.标准差解析:选D 只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数都加2.5.探索以下规律:则根据规律,从2012到2014,箭头的方向依次是( )A.向上再向右B.向右再向上8\nC.向下再向右D.向右再向下解析:选C 根据题意,分析可得箭头的变化情况以4为周期变化,(n为正整数)具体为从4n到4n+1:箭头向下;从4n+1到4n+2:箭头向右;从4n+2到4n+3:箭头向上;从4n+3到4(n+1):箭头向右,则2012=4×503,2014=4×503+2,则箭头方向为先向下再向右.6.小波一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A.30%B.10%C.3%D.不能确定解析:选C 由图1得到小波一星期的总开支,由图2得到小波一星期的食品开支,从而再借助图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比.由图2知,小波一星期的食品开支为30+40+100+80+50=300元,由图1知,小波一星期的总开支为=1000元,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%=3%.7.将一颗六个面分别标有1,2,3,4,5,6且质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,将得到的点数分别记为a,b.将a,b,5的值分别作为三条线段的长,则这三条线段能围成等腰三角形的概率为( )A.B.C.D.解析:选B 先后两次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b8\n,事件总数为36.因为三角形的一边长为5,所以满足题意的基本事件有(1,5,5),(2,5,5),(3,3,5),(3,5,5),(4,4,5),(4,5,5),(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5),(6,5,5),(6,6,5),共14个,所以三条线段能围成等腰三角形的概率为=.8.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了n位中学生进行调查,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列,又第一小组的频数是10,则n等于( )A.80B.90C.100D.110解析:选C 设第1个小长方形的面积为S,则4个小长方形的面积之和为4S+×0.1,由题意知,4S+×0.1=1,故S=0.1,又因为=0.1,所以n=100.9.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.B.C.D.解析:选C 记其中被污损的数字为x,依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是(80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的5次综合测评的平均成绩是(80×3+90×2+3+3+7+x+9)=(442+x),令90>(442+x),由此解得x<8,即x8\n的可能取值为0~7,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为=.10.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数.当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π)且x≠时,f′(x)>0.则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( )A.2B.4C.5D.8解析:选B 依题意,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1,由f(x)是偶函数得,当x∈[-π,0]时,0<f(x)<1,即x∈[-π,π]时,0<f(x)<1,由f(x)的周期为2π知,0<f(x)<1恒成立.当x∈[π,2π]时,-1≤sinx≤0,由0<f(x)<1得,y=f(x)与y=sinx不相交,即函数y=f(x)-sinx无零点;当x∈时,由·f′(x)>0得,f′(x)<0,f(x)是减函数,而y=sinx是增函数,由图像知,y=f(x)与y=sinx有1个交点,即函数y=f(x)-sinx有1个零点;当x∈时,由f′(x)>0得,f′(x)>0,f(x)是增函数,而y=sinx是减函数,由图像知,y=f(x)与y=sinx有一个交点,即函数y=f(x)-sinx有1个零点.故函数y=f(x)-sinx在[0,2π]上有2个零点.由周期性得,函数y=f(x)-sinx在[-2π,0)上有2个零点,即函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上有4个零点.二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)11.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是________.解析:由题意得an=(-3)n-1,易知前10项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于8的项为第一项和偶数项,共6项,即6个数,所以P==.答案:12.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于____________cm3.8\n解析:由三视图可得三棱锥的直观图如图所示.三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形,且高为2,故V=××3×1×2=1(cm3).答案:113.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中为x1,x2,…,xn的平均数)解析:该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15,平均得分==11,方差s2=[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=6.8.答案:6.814.(2022·新课标全国卷)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.解析:f(x)==1+,考察函数g(x)=,显然函数g(x)为奇函数,所以g(x)的最大值与最小值的和为0,所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.答案:2三、解答题(共4个小题,每小题14分,共56分)15.已知平面直角坐标系中的单位圆区域x2+y2≤1.若在单位圆区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)中任取三点,求这三个点构成直角三角形的概率;解:如图,单位圆区域内共有五个整点,分别是O(0,0),A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1),从中任取三点的基本事件为OAB,OAC,OAD,OBC,OBD,OCD,ABC,ABD,ACD,BCD,共10个.其中不能构成直角三角形的只有OAC,OBD两个基本事件,故能构成直角三角形的基本事件有8个,故所求的概率P==.16.(2022·安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时,则视为合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:8\n分组频数频率[-3,-2)0.10[-2,-1)8(1,2]0.50(2,3]10(3,4]合计501.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置;(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.解:如下表所示:(1)频率分布表分组频数频率[-3,-2)50.10[-2,-1)80.16(1,2]250.50(2,3]100.20(3,4]20.04合计501.00(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意有=,解得x=-20=1980.所以该批产品的合格品件数估计是1980件.17.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选8\n取了40名学生的成绩作为样本,这40名学生的成绩全部在40分至100分之间.现将成绩按如下方式分成6组:第一组,成绩大于等于40分且小于50分;第二组,成绩大于等于50分且小于60分……第六组,成绩大于等于90分且小于等于100分,据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中,(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数;(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.解:(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,所以,这40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为40×0.1=4.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生的成绩在区间[90,100]内”,由已知和(1)的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人,记这四个人分别为a,b,c,d,成绩在区间[90,100]内的学生有2人,记这两个人分别为e,f,则在成绩大于等于80分的学生中选取两名学生的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),基本事件数为15.事件“至少有一人的成绩在区间[90,100]内”包含的结果有:(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),基本事件数为9.所以P(A)==.18.已知中心在原点的椭圆C:+=1的一个焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3),所以b2=a2+9,则椭圆C的方程为+=1,因为x>0,所以S△MOF1=×3×x=,解得x=1.8\n故点M的坐标为(1,4).因为M(1,4)在椭圆上,所以+=1,得a4-8a2-9=0,解得a2=9或a2=-1(不合题意,舍去),则b2=9+9=18,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,设直线方程为y=4x+m(因为直线OM的斜率为4),由消去y,化简得18x2+8mx+m2-18=0.进而得到x1+x2=-,x1x2=.因为直线l与椭圆C相交于A,B两点,所以Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0,化简,得m2<162,解得-9<m<9.因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0.又因为y1y2=(4x1+m)(4x2+m)=16x1x2+4m(x1+x2)+m2,所以x1x2+y1y2=17x1x2+4m(x1+x2)+m2=-+m2=0,解得m=±.由于±∈(-9,9),所以符合题意的直线l存在,且所求的直线l的方程为y=4x+或y=4x-.8
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