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(浙江专用)2022届高考数学 冲刺必备 专题滚动检测(五)
(浙江专用)2022届高考数学 冲刺必备 专题滚动检测(五)
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(浙江专用)2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测(五)限时:90分钟 满分:122分一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分)1.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )A.-y2=1 B.-y2=1C.-=1D.x2-=1解析:选B 椭圆+y2=1的焦点为(±,0),因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除A、C.又因为双曲线-y2=1经过点(2,1),故排除D.2.设椭圆+=1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选B 因为抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0),由此得=,解得m=4,由n2=m2-22=12,所以所求的椭圆方程是+=1.3.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是( )A.B.C.D.解析:选A 由题意知,圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心坐标为(-1,2),将圆心坐标代入直线方程得2a+2b=2,即a+b=1,平方得1=a2+b2+2ab≥4ab,所以ab≤.4.已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x8\n的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( )A.5x2-=1B.-=1C.-=1D.5x2-=1解析:选A 由题意得抛物线焦点为(1,0),∴a2+b2=1.又∵e====∴a2=,∴b2=∴该双曲线的方程为5x2-y2=1.5.已知数列{an}满足:a1=1,an>0,a-a=1(n∈N*),那么使an<5成立的n的最大值为( )A.4B.5C.24D.25解析:选C ∵a-a=1,∴数列{a}是以a=1为首项,1为公差的等差数列,∴a=1+(n-1)=n,又∵an>0,∴an=.∵an<5,∴<5,∴n<25.∴n的最大值为24.6.(2022·福州模拟)直线y=x与椭圆C:+=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.解析:选A 设直线y=x与椭圆C:+=1在第一象限的交点为A,依题意有,点A的坐标为(c,c),又因为点A在椭圆C上,故有+=1,因为b2=a2-c2,所以+=1,所以c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,所以e=.7.已知k∈R,则直线y=k(x-1)+2被圆x2+y2-2x-2y=0截得的弦长的最小值为( )A.B.18\nC.2D.2解析:选D 因为直线y=k(x-1)+2过定点A(1,2),而该点与圆心(1,1)的距离为1,已知当定点A(1,2)为弦的中点时,其弦长最短,其值为2=2=2.8.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=lnx,则有( )A.f<f(2)<fB.f<f(2)<fC.f<f<f(2)D.f(2)<f<f解析:选C 由f(2-x)=f(x)得f(1-x)=f(x+1),即函数f(x)的对称轴为x=1,结合图形可知f<f<f(0)=f(2).9.(2022·海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离.已知点A(1,0),圆C:x2+2x+y2=0,那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是( )A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.射线解析:选D 如图所示,由题知圆C的圆心C(-1,0),A(1,0),令满足题意的点M到圆C的距离为|MO|,到点A的距离为|MA|,∵|MO|-|MA|=1=|OA|,∴O、A、M三点共线,∴动点M的轨迹是以A为端点的在x轴的正方向上的射线.10.(2022·郑州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x解析:选C 过点B作准线的垂线,垂足为B1,记准线与x轴的交点为F1,则依题意得==,所以|BB1|=|FF1|=,由抛物线的定义得|BF|=|BB1|=.令A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知F,可设直线l的方程为y=k.联立方程消去y得k2x2-p(k2+2)x+=0,则x1+x2=,x1·x2=8\n.又由抛物线的定义知|AF|=x1+,|BF|=x2+,则可得+=,于是有+=,解得2p=3,所以此抛物线的方程是y2=3x.二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)11.已知集合A=,B={x|log4(x+a)<1},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.解析:由x2-x-6<1,得x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,故A={x|x<-2或x>3};由log4(x+a)<1,即0<x+a<4,解得-a<x<4-a.故B={x|-a<x<4-a}.由题意知BA,所以4-a≤-2或-a≥3,解得a≥6或a≤-3.答案:(-∞,-3]∪[6,+∞)12.(2022·海淀模拟)已知抛物线y2=ax过点A,那么点A到此抛物线的焦点的距离为________.解析:由题意知点A在抛物线y2=ax上,得1=a,所以a=4,故y2=4x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离,所以点A到此抛物线的焦点的距离为xA+=+1=.答案:13.已知直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线y2=8x相交于A、B两点,F为抛物线的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值.解析:直线y=k(x-2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由可得ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB,则yA+yB=-2yB+yB=,所以yB=-,yA·yB=-16,所以-2y=-16,即yB=±2,又因为k>0,故k=2.答案:214.设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1、A2,若点P为双曲线右支上的一点,且直线PA1、PA2的斜率分别为、2,则双曲线的渐近线方程为__________.解析:由题知A1(-a,0),A2(a,0).设点P(x0,y0),则有⇒=1①,又由于点P在双曲线上,所以有:-=1⇒=-1=⇒8\n=②.由①②可知=1⇒=1.所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x三、解答题(共4个小题,每小题14分,共56分)15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=2B,sinB=.(1)求cosA及sinC的值;(2)若b=2,求△ABC的面积.解:(1)因为A=2B,所以cosA=cos2B=1-2sin2B.因为sinB=,所以cosA=1-2×=.由题意可知,A=2B,0<A<π,所以0<B<.所以cosB==.因为sinA=sin2B=2sinBcosB=.所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.(2)因为=,b=2,所以=.所以a=.所以△ABC的面积S△ABC=absinC=.16.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为C1B的中点,P为AB边上的动点.(1)当点P为AB的中点时,证明DP∥平面ACC1A1;(2)若AP=3PB,求三棱锥B-CDP的体积.8\n解:(1)证明:如图,连接DP,AC1,∵P为AB的中点,D为C1B的中点,∴DP∥AC1.又∵AC1⊂平面ACC1A1,DP⊄平面ACC1A1,∴DP∥平面ACC1A1.(2)由AP=3PB,得PB=AB=.如图,过点D作DE⊥BC于点E,则DE綊CC1,连接CD,CP,DP,又∵CC1⊥平面ABC,∴DE⊥平面BCP.又∵CC1=3,∴DE=.则S△BCP=×2×sin60°=,∴VB-CDP=VD-BCP=××=.17.已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.解:(1)因为点P在椭圆上,故+=1,可得=.于是e2==1-=,所以椭圆的离心率e=.(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,8\n设点Q的坐标为(x0,y0).由条件得消去y0并整理得x=.①由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得(1+k2)x+2ax0=0,而x0≠0,故x0=,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线OQ的斜率k=±.18.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,点P在椭圆上且异于A、B两点,O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为-,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.解:(1)设点P的坐标为(x0,y0).由题意,有+=1.①由A(-a,0),B(a,0)得kAP=,kBP=.由kAP·kBP=-,可得x=a2-2y,代入①并整理得(a2-2b2)y=0.由于y0≠0,故a2=2b2.于是e2==,所以椭圆的离心率e=.(2)证明:法一:依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐标为(x0,y0).由条件得消去y0并整理得x=.②由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得(1+k2)x+2ax0=0.8\n而x0≠0,于是x0=,代入②,整理得(1+k2)2=4k22+4.由a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即k2+1>4,因此k2>3,所以|k|>.法二:依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为(x0,kx0).由点P在椭圆上,有+=1.因为a>b>0,kx0≠0,所以+<1,即(1+k2)x<a2.③由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2x=a2,整理得(1+k2)x+2ax0=0,于是x0=.代入③,得(1+k2)<a2,解得k2>3,所以|k|>.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 22:33:35
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