2023高考数学统考二轮复习增分强化练三十一圆锥曲线中的综合问题理含解析202303112225

增分强化练(三十一)考点一　范围、最值问题　(2019·大连模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.(1)求p的值；(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：y＝－，焦点到准线的距离为2，即p＝2.(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝x2，所以y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y－＝(x－x1)，l2：y－＝(x－x2)，由于l1⊥l2，所以·＝－1，即x1x2＝－4.设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得，所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1.即l：y＝kx＋1，联立方程，得，即M(2k，－1)，M点到直线l的距离d＝＝，|AB|＝＝4(1＋k2)，所以S＝×4(1＋k2)×＝4(1＋k2)≥4，当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.考点二　定点、定值问题　(2019·南昌模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于0的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于N点．当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|＝2.(1)求椭圆C的方程；\n(2)当N，P，Q，M均不重合时，记＝λ，＝μ，若λμ＝1，求证：直线l的斜率为定值．解析：(1)因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|＝2，所以a＝|PM|＝2，故＝tan＝，因为a2＝b2＋c2，因此c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设l：x＝ty＋m(m≠0)，所以M(m,0)，N，所以kl＝.因为斜率大于0，所以t>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝，＝，由＝λ得，x1＝λx2，①同理可得y1＝μy2，②①②两式相乘得，x1y1＝λμx2y2，又λμ＝1，所以x1y1＝x2y2，所以(ty1＋m)y1＝(ty2＋m)y2，即t(y－y)＝m(y2－y1)，即(y2－y1)＝0，由题意kl>0，知y1－y2≠0，所以m＋t(y1＋y2)＝0.联立方程组，得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0，依题意，y1＋y2＝－，所以m－＝0，又m≠0，\n所以t2＝4，因为t>0，故得t＝2，所以kl＝＝，即直线l的斜率为.考点三　存在性问题　已知抛物线y2＝4x，过点P(8，－4)的动直线l交抛物线于A，B两点．(1)当P恰为AB的中点时，求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，当P恰为AB的中点时，显然x1≠x2，故kAB＝＝，又y1＋y2＝－8，故kAB＝－，则直线l的方程为y＝－x.(2)假设存在定点Q，设Q，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－8)－4(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理得ky2－4y－32k－16＝0，Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝－32－，由以弦AB为直径的圆恒过点Q知·＝0，即＋(y1－y0)(y2－y0)＝0，即＋(y1－y0)(y2－y0)＝(y1－y0)(y2－y0)＝0，故(y1＋y0)(y2＋y0)＝－16，即y1y2＋y0(y1＋y2)＋y＋16＝0，整理得(y－16)k＋4(y0－4)＝0，即当y0＝4时，恒有·＝0，故存在定点Q(4,4)满足题意；当直线l斜率不存在时，l：x＝8，不妨令A(8,4)，B(8，－4)，Q(4,4)，也满足·＝0，综上所述，存在定点Q(4,4)，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q.