2023高考数学统考二轮复习增分强化练十六数列求和与数列的综合问题理含解析202303112230

增分强化练(十六)一、选择题1．(2019·海口质检)等差数列{an}的首项为2，公差不等于0，且a＝a1a7，则数列的前2019项和为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，a＝a1a7，可得(2＋2d)2＝2(2＋6d)，所以d＝1，因此an＝n＋1，所以＝－，所以S2019＝＋＋＋…＋＝－＝.故选B.答案：B2．(2019·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，设数列的前n项和为Tn，则Tn的取值范围为(　　)A.B．(0,1)C.D.解析：因为a＝2Sn＋n＋1，所以a＝2Sn－1＋n(n≥2)，因此a－a＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1，即a＝(an＋1)2，又{an}为正项数列，所以an＋1＝an＋1，故数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n，(n∈N*)因此＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－，因为n∈N*，所以≤Tn<1.故选D.答案：D\n3．等差数列{an}的前n项和Sn，若(a8－1)3＋2018(a8－1)＝1，(a2011－1)3＋2018(a2011－1)＝－1，则下列结论正确的是(　　)A．S2018＝2018，a2011<a8B．S2018＝2018，a2011>a8C．S2018＝－2018，a2011≤a8D．S2018＝－2018，a2011≥a8解析：设f(x)＝x3＋2018x，则由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)是奇函数．由f′(x)＝3x2＋2018＞0知函数f(x)＝x3＋2018x在R上单调递增．因为(a8－1)3＋2018(a8－1)＝1，(a2011－1)3＋2018(a2011－1)＝－1，所以f(a8－1)＝1，f(a2011－1)＝－1，得a8－1＝－(a2011－1)，即a8＋a2011＝2，且a2011＜a8，所以在等差数列{an}中，S2018＝2018·＝2018·＝2018.故选A.答案：A4．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于(　　)A．1290B．1280C．1281D．1821解析：由已知可得－1＝2，又－1＝a1－1＝1，所以数列是首项为1公比为2的等比数列，所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，故a9＝(n＋1)2n－2＋1＝10×128＋1＝1281.答案：C二、填空题5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an>0，且a－2an＋1·an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则S2019＝________.解析：a－2an＋1·an＋an＋1－2an＝0，则(an＋1＋1)(an＋1－2an)＝0，因为an>0，则an＋1\n＋1≠0，故an＋1－2an＝0，故{an}为首项为1，公比为2的等比数列，an＝2n－1则S2019＝＝22019－1.答案：22019－16．(2019·滨州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n，Sn为其前n项和，则数列的前8项和为________．解析：由等差数列前n项和公式可得Sn＝，则Sn＋1＝，由数列的通项公式可得an＋1＝n＋1，∴＝＝2，则数列的前8项和为2＝2×＝.答案：7．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，点An(n∈N*)，记△A2n－1A2nA2n＋1的面积为Sn，则i＝________.解析：结合题意，得到A2n－1(22n－1,0)，A2n(22n,2n)，A2n＋1(22n＋1,0)，所以该三个点组成的三角形面积为S＝·3·22n－1·2n＝3n·22n－1，对面积求和设i＝Tn得到，Tn＝·4n＋.答案：·4n＋三、解答题8．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.(1)求数列{an}公比q；(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．\n解析：(1){an}是正项等比数列，∴q>0，若q＝1时，则Sn＝na1＝n，∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意，∴q≠1，从而Sn＝，由S2＋4S4＝S6得＋4·＝，∴(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，又q≠1，∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，∴(q2－4)(q2＋1)＝0，又q>0，∴q＝2.(2)由(1)知an＝2n－1，则{an}的前n项和Sn＝＝2n－1，当n≥5时，bn＝2n－1－15>0；n≤4时，bn＝2n－1－15<0，∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30＝(210－1)－2(24－1)－30＝210－25－29＝1024－32－29＝963.9．(2019·湘潭模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，若数列的前n项和为Tn，证明：Tn<1.解析：(1)因为an＋1＝2Sn＋3，①可得an＝2Sn－1＋3.②①－②得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，所以{an}为从第2项开始的等比数列，且公比q＝3，又a1＝3，所以a2＝9，所以数列{an}的通项公式为an＝3n(n≥2)．当n＝1时，a1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n.(2)证明：由(1)知bn＝log3an＝log33n＝n，所以＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－<1得证．10．(2019·青岛模拟)已知数列{an}的各项均为正数，a1＝3，且对任意n∈N*,2an为a\n＋3和1的等比中项，数列{bn}满足bn＝a－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等比数列，并求{an}通项公式；(2)若cn＝log2bn，{cn}的前n项和为Tn，求使Tn不小于360的n的最小值．解析：(1)证明：由题意得(2an)2＝(a＋3)×1，即a＝4a－3，∴a－1＝4a－3－1＝4a－4＝4(a－1)，∵bn＝a－1，∴bn＋1＝4bn，∴数列{bn}成等比数列，首项为b1＝a－1＝8，公比为4，∴bn＝b1·4n－1＝8×22n－2＝22n＋1，∴a－1＝22n＋1，又{an}为正项数列，∴an＝.(2)由(1)得：cn＝log2bn＝log222n＋1＝2n＋1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝2×＋n＝n2＋2n，∴Tn＝n2＋2n≥360，即n2＋2n－360≥0⇒(n＋20)(n－18)≥0，∴n≥18或n≤－20(舍去)，所以Tn不小于360的n的最小值为18.