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2023高考数学统考二轮复习增分强化练四十导数的综合应用理含解析202303112237

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增分强化练(四十)1.(2019·东三省四市模拟)已知函数f(x)=ex+2-x.(1)证明:f(x)≥3;(2)若对任意x>0,f(x)>(x-a)2,求a的取值范围.解析:(1)证明:f′(x)=ex+2-1,令f′(x)=ex+2-1=0,解得x=-2,当x∈(-∞,-2)时,f(x)单调递减,当x∈(-2,+∞)时,f(x)单调递增,所以f(x)≥f(x)min=f(-2)=3,故f(x)≥3.(2)对任意x>0,f(x)>(x-a)2,故ex+2-x-(x-a)2>0,设g(x)=ex+2-x-(x-a)2,g′(x)=ex+2-1-x+a,由(1)知g′(x)单调递增,g′(0)=e2+a-1.①当a≥1-e2时,g′(0)≥0,g′(x)≥0,所以g(x)单调递增,则g(0)=e2-a2≥0,即-e≤a≤e.②当a<1-e2时,g′(0)<0,可知存在x0>0,当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,故当x∈(0,x0)时,g(x)单调递减,g(0)=e2-a2<e2-(1-e2)2<0,所以g(x0)<g(0)<0,所以存在x∈(0,x0),使得g(x)<0,故不满足题意.综上所述,-e≤a≤e.2.已知函数f(x)=(x-2)ex-k(x-1)2.(1)当k<0时,求函数f(x)在[0,2]上的最大值和最小值;(2)讨论函数y=f(x)零点的个数.解析:由题设,f′(x)=(x-1)(ex-2k),(1)当k<0时,显然ex-2k>0,\n令f′(x)>0,得x>1,f(x)在(1,+∞)上单调递增,令f′(x)<0,得x<1,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[0,2]上,f(1)=-e,f(0)=-2-k,f(2)=-k,所以,f(x)max=-k,f(x)min=-e.(2)由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,令f(x)=0则(x-2)ex=k(x-1)2,①当x=1时,-e≠0,所以x=1不是f(x)的零点.当x≠1时,①式化为k=,设g(x)=,则g′(x)==,令g′(x)>0得x>1,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,令g′(x)<0,得x<1,则g(x)在(-∞,1)上单调递减,当x→1时,g(x)→-∞当x→+∞时,g(x)→+∞.当x→-∞时,g(x)→0,且当x<0时,g(x)<0.故g(x)的图象如图:所以,当k<0时,y=f(x)有两个零点,当k≥0时,y=f(x)有一个零点.3.(2019·榆林模拟)已知函数f(x)=1+lnx-ax2.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)证明:xf(x)<·ex+x-ax3.解析:(1)f(x)=1+lnx-ax2(x>0),f′(x)=当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),无减区间;当a>0时,x∈,f′(x)>0,当x∈,f′(x)<0,∴f(x)单调增区间为,单调减区间为.\n(2)证明:法一:要证xf(x)<·ex+x-ax3,即证·-lnx>0,令φ(x)=·-lnx,(x>0),φ′(x)=,令r(x)=2(x-1)ex-e2x,r′(x)=2xex-e2,r′(x)在(0,+∞)上单调递增,r′(1)<0,r′(2)>0,故存在唯一的x0∈(1,2)使得r′(x)=0,∴r′(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,∵r(0)<0,r(2)=0,∴当x∈(0,2)时,r(x)<0,x∈(2,+∞)时,r(x)>0;所以φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴φ(x)≥φ(2)=1-ln2>0,得证.法二:要证xf(x)<·ex+x-ax3,即证:·>,令φ(x)=·(x>0),φ′(x)=,∴当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0;所以φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴φ(x)≥φ(2)=;令r(x)=,r′(x)=,当x∈(0,e)时,r′(x)>0,x∈(e,+∞)时,r′(x)<0;所以r(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴r(x)≤r(e)=,∴φ(x)≥>≥r(x),∴·<,得证.4.(2019·济宁模拟)已知函数f(x)=x-a(lnx)2,a∈R.(1)当a=1,x>1时,试比较f(x)与1的大小,并说明理由;(2)若f(x)有极大值,求实数a的取值范围;(3)若f(x)在x=x0处有极大值,证明:1<f(x0)<.解析:(1)当a=1,x>1时,f(x)=x-(lnx)2,x>1.f′(x)=1-2(lnx)×=.令g(x)=x-2lnx,x>1,则g′(x)=1-=,当x∈(1,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,\n当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;∴g(x)≥g(2)=2-2ln2>0,即f′(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.∴f(x)>f(1)=1.故当a=1,x>1时f(x)>1.(2)∵f′(x)=1-=(x>0),令h(x)=x-2alnx(x>0),则h′(x)=1-=,①当a=0时,f(x)=x无极大值.②当a<0时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;h(1)=1>0,h(e)=e-1<0,∃x1∈(e,1),使得h(x1)=0.∴当x∈(0,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=x1处有极小值,f(x)无极大值.③当a>0时,h(x)在(0,2a)上单调递减,h(x)在(2a,+∞)上单调递增,∵f(x)有极大值,∴h(2a)=2a-2aln(2a)=2a(1-ln2a)<0,即a>,又h(1)=1>0,h(e)=e-2a<0,∴∃x0∈(1,e),使得h(x0)=x0-2alnx0=0,即alnx0=;∴当x∈(0,x0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x0,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)有极大值,综上所述,a>.(3)证明:由(2)可知:alnx0=,∴f(x0)=x0-a(lnx0)2=x0-(1<x0<e),\n设p(x)=x-(1<x<e),则p′(x)=1-=>0,∴p(x)在(1,e)上单调递增,∴p(1)<p(x)<p(e),即1<p(x)<,故1<f(x0)<.

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发布时间:2022-08-25 22:19:34 页数:5
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文章作者:U-336598

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