2023高考数学统考二轮复习增分强化练十七空间几何体的三视图表面积与体积理含解析202303112231

增分强化练(十七)考点一　空间几何体的三视图1．日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为(　　)解析：因为相机镜头正对的方向为正方向，所以侧视图中圆盘为椭圆，又晷针斜向下穿盘而过，故其投影为下虚上实，故选D.答案：D2．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由完全相同的四个曲面构成，其直观图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线)．当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为(　　)解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B.答案：B3．(2019·青岛模拟)\n某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：由三视图可得直观图如图所示：由三视图可知：PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥AB，又PD＝AD＝2，PD＝DC＝2，∴△PAD和△PDC为等腰直角三角形．又PD⊥AB，AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，又AB＝1，PA＝＝2，∴ΔPAB不是等腰直角三角形．∵PB＝＝3，BC＝＝，PC＝＝2，∴△PBC不是等腰直角三角形，综上所述，侧面为等腰直角三角形的共有2个．故选B.答案：B考点二　空间几何体的表面积与体积1．用半径为3cm，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为(　　)\nA．1cmB．2cmC.cmD．2cm解析：设圆锥的底面半径为rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr＝×3，即底面圆的半径为1，所以圆锥的高h＝＝2，故选B.答案：B2．(2019·中卫模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)A.B.C．4D．2π解析：由已知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是正三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R＝PD＝.则这个几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝.故选A.答案：A3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)\nA．6＋B．6＋3πC．2＋D．2＋3π解析：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体左边表示一个底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为3的直三棱柱，右边表示一个底面为半径为1的半圆，母线长为3的半圆柱，所以该几何体的体积为V＝×2×2×3＋π×12×3＝6＋，故选A.答案：A4．(2019·泰安模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥PBDD1B1的体积为________．解析：连结AC交BD于O(图略)，则有AO⊥平面BDD1B1，所以，AO就是点P到平面BDD1B1的距离，即高h＝AO＝，又矩形BDD1B1的面积为S＝，所以，四棱锥PBDD1B1的体积为V＝××＝.答案：考点三　多面体与球的切、接问题1．(2019·乌鲁木齐质检)正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是(　　)A．2πB．3πC．12πD．18π解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝6，故a＝1，又其外接球的直径2R＝a＝，所以R\n＝，所以S＝4πR2＝3π，故选B.答案：B2．(2019·济宁模拟)某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是(　　)A．41πB．48πC．51πD．164π解析：由三视图可得该几何体为如图所示三棱锥，其中，DA⊥AB，BC⊥AB，AB＝AD＝4，BC＝3，因为CD的中点E到所有顶点的距离都相等，所以E为外接球球心．因为CD＝＝，所以外接球半径为r＝，则表面积为4πr2＝41π.故选A.答案：A3．四面体ABCD的外接球为O，AD⊥平面ABC，AD＝2，△ABC为边长为3的正三角形，则球O的表面积为________．解析：由题意，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径为×＝，∵AD⊥平面ABC，AD＝2，∴四面体ABCD的外接球的半径为＝2，∴球O的表面积为4π×4＝16π.答案：16π4．直三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为________．解析：设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高h＝，\n设外接球的半径为r，则πr3＝，解得r＝2，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴h＝2r＝4.∴h＝2，∴a2＋b2＝h2＝8≥2ab，∴ab≤4.当且仅当a＝b＝2时“＝”成立．∴三棱柱的体积V＝Sh＝abh＝ab≤4.答案：4