【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第1节 二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法课后限时自测 理 苏教版选修4-2

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第1节二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法课后限时自测理苏教版选修4-2[A级　基础达标练]1．求向量α＝在矩阵作用下变换得到的向量．[解]　＝＝.2．求直线y＝－3x在矩阵M＝作用下变换得到的图形解析式．[解]　由＝知即所以x′＝－3y′即y＝－x.3．已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点(1,1)、(－1,2)分别变换成(1,1)、(－2,4)，求矩阵M.[解]　设M＝，则＝，即因为矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)，所以＝，即联立两个方程组，解得即矩阵M＝.4．在线性变换＝下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点．求此点坐标．[解]　＝，即所以直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)．5．若△ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A(0,0)，B(1，)，C(0,2)，A′(0,0)，C′(－，1)，求点B′的坐标．5\n[解]　由题意旋转中心为原点，设逆时针旋转角为α(0≤α≤2π)，则旋转变换矩形为M＝，∴＝∴∴α＝，∴M＝.设B′(x，y)，则＝＝，∴B′(－1，)．6．(2014·苏、锡、常、镇四市模拟)已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下，得到的对应点分别为A′(0,0)，B′(，1)，C′(0,2)，求矩阵M.[解]　由条件得＝.所以解得a＝且c＝.又＝，所以解得b＝－且d＝.所以矩阵M＝.7．(2014·南京模拟)已知M＝，N＝，求二阶矩阵X，使MX＝N.[解]　设X＝，按题意有＝.根据矩阵乘法法则有5\n解之得∴X＝.8．(2014·镇江模拟)直角坐标系xOy中，点(2，－2)在矩阵M＝对应变换作用下得到点(－2,4)，曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．[解]　由＝得2a＝4，a＝2.设点(x，y)是曲线C上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点(x′，y′)，则＝，即∴∴C′：y′2＋x′2＝1，∴曲线C′的方程为x2＋y2＝1.9．求使等式＝M成立的矩阵M.[解]　设M＝，＝，∴＝，∴＝，∴∴∴M＝.10．已知变换T把平面上的点(1,0)，(0，)分别变换成点(1,1)，(－，)．(1)试求变换T对应的矩阵M；(2)求曲线x2－y2＝1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．[解]　(1)设矩阵M＝，依题意得＝，所以由(1,0)变换为(1,1)得a＝1，c＝1；由(0，)变换为(－，)得b＝－1，d＝1.所以矩阵M＝.(2)变换T所对应关系解得5\n代入x2－y2＝1得x′y′＝1.故x2－y2＝1在变换T的作用下所得到的曲线方程为xy＝1.[B级　能力提升练]1．(2013·盐城二模)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝.[解]　MN＝＝，设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)．则有＝＝，于是x′＝x，y′＝x＋.代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1，∴曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)，设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．[解]　由题设得MN＝＝.由＝，＝，＝，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知|k|＝2×1＝2.所以k的值为－2或2.3．(2013·泰州调研)已知变换T把平面上的点(1,0)，(0，)分别变换成点(1,1)，(－，)．(1)试求变换T对应的矩阵M；(2)求曲线x2－y2＝1在变换T的作用下所得到的曲线方程．5\n[解]　(1)设矩阵M＝，依题意得＝，∴由(1,0)变换为(1,1)得a＝1，c＝1，由(0，)，变换为(－，)得b＝－1，d＝1.所求矩阵M＝.(2)变换T所对应关系解得代入x2－y2＝1得x′y′＝1，故x2－y2＝1在变换T的作用下所得到的曲线方程为xy＝1.5