上海市2023高考数学一轮复习 专题突破训练 数列 文

上海市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（虹口区2015届高三二模）设数列前项的和为若则2、（黄浦区2015届高三二模）在等差数列中，若，，则正整数　　　　　　3、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则数列的公比4、（浦东新区2015届高三二模）已知数列的前项和，则该数列的通项公式5、（普陀区2015届高三一模）若无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，则首项a1的取值范围是　﹣2＜a1≤且a1≠0　．6、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）设等差数列的前项和为，若，则的值为7、（闸北区2015届高三一模）已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（　　）　A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0　C．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞08、（长宁、嘉定区2015届高三二模）设等差数列满足，，的前项和的最大值为，则=__________9、（崇明县2015届高三一模）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　　　　　　　　10、等差数列的前10项和为,则_____.11、数列的通项,前项和为,则____________.12、设正项数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则________18\n13、(文)设数列是公差不为零的等差数列,,若自然数满足,且是等比数列,则=_______________.二、解答题1、（2015年高考）已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.2、（2014年高考）已知数列满足，，．（1）若，求的取值范围；（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．3、（2013年高考）已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.4、（奉贤区2015届高三二模）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．（1）设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足，求数列的通项公式；（6分）（2）设，若数列每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求18\n；（4分）（3）在（2）的条件下，，求符合条件的的个数．m（6分）5、（虹口区2015届高三二模）设各项均为正数的数列的前n项和为且满足：（1）求数列的通项公式；（2）设（3）是否存在大于2的正整数使得若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由.6、（黄浦区2015届高三二模）　已知数列满足，对任意都有．(1)求数列()的通项公式；(2)数列满足()，求数列的前项和；(3)设，求数列()中最小项的值．7、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．8、（浦东新区2015届高三二模）记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令．18\n（1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；（2）若数列递增，且是等差数列，求证：为等差数列；（3）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由．9、（普陀区2015届高三一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=4，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知cn=2n+3（n∈N*），记dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立，求证：数列{bn}是等差数列．10、（闸北区2015届高三一模）设数列{an}满足：①a1=1；②所有项an∈N*；③1=a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…设集合Am={n|an≤m，m∈N*}，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；（2）设an=3n﹣1，求数列{an}的伴随数列{bn}的前20之和；（3）若数列{an}的前n项和Sn=n2+c（其中c常数），求数列{an}的伴随数列{bm}的前m项和Tm．11、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知函数，其中．定义数列如下：，,．（1）当时，求，，的值；（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当时，总能找到，使得．12、（崇明县2015届高三一模）　已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式，求数列的通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和，对任意的正整数，18\n恒成立，求实数p的取值范围．13、已知复数,其中,,,是虚数单位,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求和:①;②.14、已知数列对任意的满足:,则称为“Z数列”.(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;(2)若正数列,数列是“Z数列”,数列是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列,使得是“Z数列”;(3)若数列是“Z数列”,设求证15、已知数列的前项和为,且对于任意,总有.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择、填空题1、　　　2、　　　3、　　4、　　　5、解：∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1﹣q）=﹣q2+q=﹣（q﹣）2+，18\n由二次函数可知a1=﹣（q﹣）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：﹣2＜a1≤且a1≠0故答案为：﹣2＜a1≤且a1≠06、17、解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正确，故选C．8、29、10、12;11、7;12、13、二、解答题1、【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.18\n（3）因为，所以，当时，，由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别是及，18\n由及，解得，综上所述，的取值范围是.2、解答：（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．（2）设的公比为．由，且，得．因为，所以．从而，，解得．时，．所以，的最小值为，时，的公比为．（3）设数列的公差为．由，得，．①当时，，所以，即．②当时，，符合条件．③当时，，所以，，又，所以．综上，的公差的取值范围为．3、【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）分情况讨论如何：18\n（3）讨论如下:4、解：（1）因是公比为的等比数列，从而1分由，2分故解得或（舍去）3分因此，又，解得4分从而当时，5分当时，由是公比为的等比数列得6分因此6分（2）由题意7分得,8分9分依此类推10分（3）猜想：，一共有33511分得又，④故有12分.⑤13分18\n若不然，设若取即，则由此得，而由③得得14分由②得而此推得（）与题设矛盾15分同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数.16分5、解：（1）由及两式相减，得……3分由于各项均为正数，故由上式，可得于是数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为：……6分（2）因为……8分故……10分于是……12分（3）假设存在大于2的正整数使得由（1），可得从而……14分由于正整数均大于2，知……16分故由得因此，存在大于2的正整数使得18\n……18分6、解(1)对任意都有成立，，∴令，得．∴数列()是首项和公比都为的等比数列．∴．　(2)由()，得()．故．当时，．于是，当时，；当时，又时，，综上，有　(3)，，　　∴，．　　18\n　　∴数列()是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3．7、解：（1）不是封闭数列，因为，……………………………………1分对任意的，有，……………………………………2分若存在，使得，即，，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列……………………………………4分（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使，……6分下面证明整数．对，若，则取，对，存在使，即，，所以，矛盾，故存在整数，使．……………………………………8分（充分性）若存在整数，使，则，对任意，因为，所以是封闭数列.……………………………………10分（3）由于，所以，……………11分因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，若，则，此时不存在．所以没有意义…12分若，则，所以，…………………13分若，则，于是，所以，……………………………………16分18\n若，则，于是，所以，……………………………………17分综上讨论可知：，，该数列是封闭数列．………18分8、解：因为数列单调递增，，所以；；……………………………………2分当时，数列的通项公式………………………………4分（2）数列递增，即，令数列公差为…………………………………6分所以为等差数列.………………………………………………………10分（3）数列的通项公式为，递减且.…………12分由定义知，………………………………………………14分，数列递增，即…………16分………………18分9、解答：（1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{an}是等比数列，an==22﹣n．（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{dn}是常数列，dn=3+=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=．①18\n（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=﹣．②．①﹣②可得bn+1a1==，∴，∴，（n≥3）．又2b1=，解得b1=．b1a2+b2a1=，∴+b2×2=﹣，解得b2=．当n=1，2时，，也适合．∴，（n∈N*）是等差数列．10、解答：解：（1）数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算对），（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b28=…=b20=3，∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50，（3）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，∴，由an=2n﹣1≤m得：因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，所以，当m=2t﹣1（t∈N*）时：，当m=2t（t∈N*）时：，所以．11、（1）因为，故，………………………………（1分）因为，所以，…………（2分），…………（3分）18\n．…………（4分）（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为的等差数列．则得到，，．…（2分）因为，，成等差数列，所以，…………3分所以，，化简得，解得（舍）,．…………………………………（5分）经检验，此时的公差不为0，所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．…………（6分）方法二：因为，，成等差数列，所以，即，…………………………………………（2分）所以，即．因为公差，故，所以解得．………（5分）经检验，此时，，的公差不为0．所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．…………（6分）（3）因为,…………（2分）又,所以令…………………………（3分）由，，……，，将上述不等式全部相加得，即，…………………（5分）因此要使成立，只需，所以，只要取正整数，就有．综上，当时，总能找到，使得．12、解：（1）等差数列满足得所以，（2）18\n由上时，由于当时，，所以（3）由得对一切恒成立，由于为减函数，所以，取值范围是。13、解:(1),,.由得,数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列,,(2)由(1)知,.①②令,(Ⅰ)将(Ⅰ)式两边乘以3得(Ⅱ)将(Ⅰ)减(Ⅱ)得.,14、解:(1)设等差数列的首项,公差,所以任何的等差数列不可能是“Z数列”或者根据等差数列的性质:所以任何的等差数列不可能是“Z数列”(2)假设是等比数列,则18\n是“Z数列”,所以,所以不可能是等比数列,等比数列只要首项公比其他的也可以:等比数列的首项,公比,通项公式恒成立,补充说明:分析:,根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以(3)因为,,,,同理:因为数列满足对任意的所以15、(1)当时,由已知,得.当时,由,,两式相减得,即,所以是首项为,公比为的等比数列.所以,()18\n(2)由题意,,故,即,因为,所以,即,解得,所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项所以这个等差数列所有项的和所以,,(3)由(1)知,所以由题意,,即对任意成立,所以对任意成立因为在上是单调递增的,所以的最小值为.所以.由得的取值范围是.所以,当时,数列是单调递减数列18