上海市2023高考数学一轮复习 专题突破训练 圆锥曲线 文

上海市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2015年高考）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则.2、（2014年高考）抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．3、（2013年高考）.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为.4、（奉贤区2015届高三二模）以抛物线的焦点为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．5、（虹口区2015届高三二模）已知抛物线的焦点在圆上，则________6、（黄浦区2015届高三二模）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是7、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）已知抛物线的准线方程是，则．8、（浦东新区2015届高三二模）若直线与圆没有公共点，设点的坐标，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为(C)0121或29、（普陀区2015届高三一模）若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是　（﹣2，2）∪（3，+∞）　．10、（闸北区2015届高三一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；22\n②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是　②④　．（注：把你认为正确命题的序号都填上）11、（长宁、嘉定区2015届高三二模）抛物线的焦点到准线的距离是_____________12、（崇明县2015届高三一模）已知双曲线的一条渐近线的法向量是，那么　　　　　　　13、已知椭圆内有两点为椭圆上一点,则的最大值为_______.14、若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为_________.15、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是_____.二、解答题1、（2015年高考）已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，，，求的值；（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.2、（2014年高考）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．（1）求证；点被直线分隔；22\n（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．3、（2013年高考）如图，已知双曲线C1:，曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”；（3）求证：圆内的点都不是“C1-C2型点”.4、（奉贤区2015届高三二模）平面直角坐标系中，点、，平面内任意一点满足：直线的斜率，直线的斜率，，点的轨迹为曲线．双曲线以曲线的上下两顶点为顶点，是双曲线上不同于顶点的任意一点，直线的斜率，直线的斜率．（1）求曲线的方程；(5分)（2）(文)如果，求双曲线的焦距的取值范围．(9分)22\n5、（虹口区2015届高三二模）已知圆：，点(1,0)，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若,为坐标原点，求直线的斜率；(3)过点的动直线交曲线于两点，求证：以为直径的圆恒过定点6、（黄浦区2015届高三二模）已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的轨迹方程；(2)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；(3)（理科）已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．（文科）已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：原点到直线的距离是定值．7、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不 重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；22\n（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△的面积为时，求直线的方程．8、（浦东新区2015届高三二模）已知直线与圆锥曲线相交于两点，与轴、轴分别交于、两点，且满足、.（1）已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；（2）已知直线：（），椭圆：，求的取值范围；（3）已知双曲线：，，求点的坐标.9、（普陀区2015届高三一模）已知P是椭圆+=1上的一点，求P到M（m，0）（m＞0）的距离的最小值．10、（闸北区2015届高三一模）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．11、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知椭圆（）的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；22\n（3）试问在轴上是否存在一点，使得对于椭圆上任意一点，到的距离与到直线的距离之比为定值．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．12、（崇明县2015届高三一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.13、已知抛物线:,直线交此抛物线于不同的两个点、.(1)当直线过点时,证明为定值;(2)当时,直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)记,如果直线过点,设线段的中点为,线段的中点为.问是否存在一条直线和一个定点,使得点到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.14、动圆过定点,且与直线相切.设圆心的轨迹方程为(1)求;(2)曲线上一定点,方向向量的直线(不过P点)与曲线交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为,,计算;(3)曲线上的一个定点,过点作倾斜角互补的两条直线分别与曲线交于两点,求证直线的斜率为定值;15、如图,已知点,直线:,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点,且.(1)求动点的轨迹的方程;(2)(文)过轨迹的准线与轴的交点作方向向量为的直线与轨迹交于不同两点、,问是否存在实数使得?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由;22\n(3)(文)在问题(2)中,设线段的垂直平分线与轴的交点为,求的取值范围.参考答案一、选择、填空题1、【答案】2DBAC【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.2、解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：3、【答案】【解析】如右图所示。4、　　　5、6　　6、　　　7、48、C9、解答：解：∵程+=1表示双曲线，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴实数k的取值范围是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣2，2）∪（3，+∞）．10、解答：解：对于①，∵曲线C：=1，不是椭圆方程，∴曲线C不是椭圆，∴①错误；对于②，把曲线C中的（x，y）同时换成（﹣x，﹣y），方程不变，∴曲线C关于原点对称，②正确；22\n对于③，把曲线C中的（x，y）同时换成（y，x），方程变为+x4=1，∴曲线C不关于直线y=x对称，③错误；对于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲线C：=1所围成的封闭面积小于4×2=8，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．11、412、13、;14、15、;二、解答题1、【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）.由（1）得由题意知，22\n解得或.（3）设，则，设，，由，的，同理，由（1）知，，整理得，由题意知与无关，则，解得.所以.2、解答：（1）证明：因为，所以点被直线分隔．（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足22\n，即点和被分隔．故实数的取值范围是．（3）证明：设的坐标为，则曲线的方程为．对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．3、【答案】（1）【解析】（1）显然，由双曲线的几何图像性质可知，过.从曲线图像上取点P(0,1),则直线。这时直线方程为（2）先证明“若直线y=kx与有公共点，则＞1”.双曲线..所以直线y=kx与有公共点，则＞1.（证毕）。所以原点不是“C1-C2型点”；（完）（3）设直线过圆内一点，则直线斜率不存在时与曲线无交点。22\n设直线方程为：y=kx+m，则：假设直线与曲线相交上方，则4、（1）5分（2）设双曲线方程为6分在双曲线上，所以8分9分10分（理）双曲线渐近线的方程11分设倾斜角为，则22\n或者12分所以一条渐近线的倾斜角的取值范围是13分另一条渐近线的倾斜角的取值范围是14分（文）焦距是12分14分5、解：(1)因为的垂直平分线交于点.所以，从而所以，动点的轨迹是以点为焦点的椭圆.……3分设椭圆的方程为，则，，故动点的轨迹的方程为……5分(2)设，则①因为，则②由①、②解得……8分所以直线的斜率.……10分(3)设直线的方程为则由，得由题意知，点在椭圆的内部，所以直线与椭圆必有两个交点，设，则……12分假设在轴上存在定点满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,所以即……14分22\n因为故可化为由于对于任意的,恒成立，故解得.因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.……16分6、解(1)依据题意，动点满足.又，因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且．所以，所求曲线的轨迹方程是．(2)设是曲线上任一点．依据题意，可得．是直径，．又，　　　　＝．　由，可得，即．　　．　　的取值范围是．22\n(另解：结合椭圆和圆的位置关系，有(当且仅当共线时，等号成立)，于是有．)(3)证明　设原点到直线的距离为，且是曲线上满足的两个动点．若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，即．若点不在坐标轴上，可设．由得设点，同理可得，于是，，，．利用，得．综合可知，总有，即原点到直线的距离为定值．(方法二：根据曲线关于原点和坐标轴都对称的特点，以及，求出的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)7、解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分所以在双曲线中，，，，因而双曲线方程为．……………………………………………………4分（2）设，，则由题设知：，．22\n即………………………………………………………………5分解得……………………………………………………………………7分因为点在椭圆C上，所以，即…，亦即．所以点M的轨迹方程为．…………………9分（3）（文）因为AB所在直线方程为．解方程组得，，所以，.又解得，，所以．…………11分由于……………14分解得即又，所以直线方程为或…………………………………16分8、解：（1）将，代入，求得点，，又因为，，……………………………………………………2分由得到，，，同理由得，.所以=.………………………4分（2）联立方程组：得，，又点，由得到，，22\n同理由得到，，=，即，…6分,………………………………8分因为，所以点在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知，所以.………………………………10分（3）直线的方程为，代入方程得到:.,(1)而由、得到：(2)(3)…………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：，，所以点，………………………………………………………………14分当直线与轴重合时，，或者，，都有也满足要求，所以在轴上存在定点.……………………………………………16分9、考点：椭圆的简单性质．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），则，所以，﹣2≤x≤2，所以得到|PM|=，二次函数的对称轴为x=2m，所以讨论2m和区间[﹣2，2]的关系，根据二次函数的顶点及在区间[﹣2，2]上的单调性即可求出该二次函数的最小值，从而求出|PM|的最小值．解答：解：设P（x，y），则x，y满足：；∴；∴|PM|====；22\n∴①若0＜2m＜2，即0＜m＜1时，x=2m时，函数取最小值2﹣m2；∴此时|PM|的最小值为；②若2m≥2，即m≥1时，二次函数在[﹣2，2]上单调递减；∴x=2时，函数取最小值（m﹣2）2；∴此时|PM|的最小值为|m﹣2|．10、解答：解：（1）由题意得F1（﹣2，0），c=2…（2分）又，得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），…（2分）则b2=2，…（1分）故椭圆方程为．…（1分）（2）直线l的方程为y=x﹣2．…（1分）联立方程组，消去y并整理得2x2﹣6x+3=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）．故x1+x2=3，．…（1分）则|AB|=|x1﹣x2|==．…（2分）（3）设AB的中点为M（x0，y0）．∵x1+x2=3=2x0，∴，…（1分）∵y0=x0﹣2，∴．…（1分）线段AB的中垂线l1斜率为﹣1，所以l1：y=﹣x+1设P（t，1﹣t）…（1分）所以．…（1分）当△ABP为正三角形时，|MP|=|AB|，得，解得t=0或3．…（2分）即P（0，1），或P（3，﹣2）．…（1分）11、（1）已知，，，……………………（2分）22\n所以，……………………………………（3分）所以椭圆的标准方程为．……………………（4分）（2），，设，则，，（），……………………（2分）因为，所以，，…（4分）由，得的最大值为，最小值为．…………………………（6分）（3）假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值，则有，………………………………………………（1分）整理得，……………………………………（2分）由，得对任意的都成立．………………………………………………………………（3分）令，则由得①由得②由，得③由①②③解得得，．…………………………（5分）所以，存在满足条件的点，的坐标为．………………………（6分）12、解（1）设椭圆C的方程为，半焦距为，则解得：所以，，椭圆方程为（2）解：存在直线，使得成立。22\n由得由得。设，则由得，所以化简得所以由得，因此，13、解:(1)过点与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设,其中(若时不合题意),由得,注:本题可设,以下同.(2)当直线的斜率存在时,设,其中(若时不合题意).由得.,从而假设直线过定点,则,从而,得,即,即过定点当直线的斜率不存在,设,代入得,,22\n,从而,即,也过.综上所述,当时,直线过定点(3)依题意直线的斜率存在且不为零,由(1)得点的纵坐标为,代入得,即设,则消得由抛物线的定义知存在直线,点,点到它们的距离相等14、(1)过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:,即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为;(2)证明:设A()、B()由题得直线的斜率过不过点P的直线方程为由得则.====0(3)设,22\n==(***)设的直线方程为由,则15分同理,得代入(***)计算得:15、(文)(1)设,由题意,,,,,,由,得,化简得.所以,动点的轨迹的方程为(2)轨迹为抛物线,准线方程为,即直线,所以,当时,直线的方程为,与曲线只有一个公共点,故所以直线的方程为,由得,由△,得设,,则,,所以,,若,则,即,,,22\n解得.所以(3)由(2),得线段的中点为,线段的垂直平分线的一个法向量为,所以线段的垂直平分线的方程为,令,,因为,所以.所以的取值范围是22