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江苏省2023高考数学一轮复习 专题突破训练 数列
江苏省2023高考数学一轮复习 专题突破训练 数列
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江苏省2016年高考一轮复习专题突破训练数列一、填空题1、(2015年江苏高考)数列满足,且,则数列的前10项和为_________。2、(2014年江苏高考)在各项均为正数的等比数列中,若,,则的值是▲3、(2013年江苏高考)在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数的值为。4、(2015届南京、盐城市高三二模)记等差数列的前n项和为,已知,且数列也为等差数列,则=5、(南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研(淮安三模))已知等差数列的首项为4,公差为2,前项和为.若(),则的值为▲.6、(苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(二))已知等差数列满足:.若将都加上同一个数,所得的三个数依此成等比数列,则的值为▲7、(泰州市2015届高三第二次模拟考试)在等比数列中,已知,则▲8、(盐城市2015届高三第三次模拟考试)设是等差数列的前项和,若数列满足且,则的最小值为▲9、(2015届江苏南京高三9月调研)记数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,Sn=2(a1+an)(n≥2,n∈N*),则Sn=▲10、(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)已知等比数列的前项和为,且,则数列的公比为▲25\n11、(2015届江苏苏州高三9月调研)已知等比数列的各项均为正数则▲12、(苏州市2015届高三上期末)已知等差数列中,,若前5项的和,则其公差为13、(泰州市2015届高三上期末)等比数列中,,,则数列的前项和为▲14、(无锡市2015届高三上期末)已知数列的首项,前项和为,且满足,则满足的的最大值为15、(扬州市2015届高三上期末)设数列{}的前n项和为Sn,且,若对任意,都有,则实数p的取值范围是____二、解答题1、(2014年江苏高考)设是各项为正数且公差为的等差数列,(1)证明:依次构成等比数列;(2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由。2、(2014年江苏高考)设数列{}的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称{}是“H数列。”(1)若数列{}的前n项和=(n),证明:{}是“H数列”;(2)设数列{}是等差数列,其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”,求d的值;25\n(3)证明:对任意的等差数列{},总存在两个“H数列”{}和{},使得=(n)成立。3、(2013年江苏高考)设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和。记,,其中为实数。(1)若,且成等比数列,证明:();(2)若是等差数列,证明:。4、(2015届南京、盐城市高三二模)给定一个数列{an},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*,a为常数),等差数列a2,a3,a6是数列{an}的一个3阶子数列.(1)求a的值;(2)等差数列b1,b2,…,bm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,且b1=(k为常数,k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1;(3)等比数列c1,c2,…,cm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,求证:c1+c2+…+cm≤2-.5、(南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研(淮安三模))设是公差为的等差数列,是公比为()的等比数列.记.(1)求证:数列为等比数列;(2)已知数列的前4项分别为4,10,19,34.①求数列和的通项公式;②是否存在元素均为正整数的集合,,…,(,),使得数列25\n,,…,为等差数列?证明你的结论.6、(苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(二))已知为常数,且为正整数,,无穷数列的各项均为正整数,其前项和为,对任意正整数,.数列中任意两不同项的和构成集合(1)证明无穷数列为等比数列,并求的值;(2)如果,求的值;(3)当时,设集合中元素的个数记为求数列的通项公式7、(泰州市2015届高三第二次模拟考试)已知,,都是各项不为零的数列,且满足,,其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;(2)若(是不为零的常数),求证:数列是等差数列;(3)若(为常数,),,求证:对任意的,数列单调递减.8、(盐城市2015届高三第三次模拟考试)设函数(其中),且存在无穷数列,使得函数在其定义域内还可以表示为.(1)求(用表示);(2)当时,令,设数列的前项和为,求证:;(3)若数列是公差不为零的等差数列,求的通项公式.25\n9、(2015届江苏南京高三9月调研)已知{an}是等差数列,其前n项的和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=21,S4+b4=30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)记cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.10、(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)已知无穷数列满足:,,且对于任意,都有,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式.11、(连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三上期末)在数列中,已知,且满足,,为常数.(1)证明:,,成等差数列;(2)设,求数列的前项和;(3)当时,数列中是否存在三项,,成等比数列,且,,也成等比数列?若存在,求出,,的值;若不存在,说明理由.12、(南京市、盐城市2015届高三上期末)设数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,若,.(1)求数列的通项公式;(2)对于正整数(),求证:“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件;(3)设数列满足:对任意的正整数,都有,且集合中有且仅有3个元素,试求的取值范围.13、(南通市2015届高三上期末)设数列的前项和为.若,则称25\n是“紧密数列”.若数列的前项和为,证明:是“紧密数列”;设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”,求.的取值范围.14、(苏州市2015届高三上期末)已知数列中.(1)是否存在实数,使数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由;(2)若是数列的前项和,求满足的所有正整数.15、(泰州市2015届高三上期末)数列,,满足:,,.(1)若数列是等差数列,求证:数列是等差数列;(2)若数列,都是等差数列,求证:数列从第二项起为等差数列;(3)若数列是等差数列,试判断当时,数列是否成等差数列?证明你的结论.参考答案一、填空题1、,所以。故2、4 3、12 4、50 5、7 6、-1 7、64 8、9、 10、2-2n-1 11、 25\n12、2 13、 14、9 15、二、解答题1、(1)证明:设,因为:因为,,所以依次构成等比数列。因为,,所以依次构成等比数列。所以依次构成等比数列。(2)假设依次构成等比数列,那么应该有:,因为,所以………(a),考察(a)的解,故为的极大值,而,所以符合(a)的解。又,(因为数列各项为正数)。所以,解得,。所以,这与(a)矛盾。所以不存在这样的,使得依次构成等比数列。(3)假设存在及正整数,使得依次构成等比数列,那么:,而…………(a)25\n…….(b)由于,而,(且各项不等)所以,所以。令,,则,同理,。代入(a),(b)得:,等式两边取对数变形得:由(e)(f)得到新函数:,求导得到:,令,求二阶导数得:,令,则,而,故单调递减,又,所以除了外无零点,而这与题目条件不符。所以:不存在及正整数,使得依次构成等比数列。2、(1)证明:∵=,∴==(n),又==2=,∴(n25\n)。∴存在m=n+1使得(2)=1+(n-1)d,若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。=1+(m-1)d成立。化简得m=+1+,且d0又m,,d,且为整数。(3)证明:假设成立且设都为等差数列,则n+=+(-1),=++1,∴=()同理=()取==k由题==+(-1)++(-1)=()+(n-1)()=(n+k-1))可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}和{}同时也是“H数列”满足条件。3、证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和∴(1)∵∴25\n∵成等比数列∴∴∴∴∵∴∴∴∴左边=右边=∴左边=右边∴原式成立(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:∴对恒成立∴由①式得:∵∴由③式得:法二:证:(1)若,则,,.当成等比数列,,即:,得:,又,故.由此:,,.故:().(2),.(※)若是等差数列,则型.25\n观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:,即,而≠0,故.经检验,当时是等差数列.4、解:(1)因为a2,a3,a6成等差数列,所以a2-a3=a3-a6.又因为a2=,a3=,a6=,代入得-=-,解得a=0.……………3分(2)设等差数列b1,b2,…,bm的公差为d.因为b1=,所以b2≤,从而d=b2-b1≤-=-.………………6分所以bm=b1+(m-1)d≤-.又因为bm>0,所以->0.即m-1<k+1.所以m<k+2.又因为m,k∈N*,所以m≤k+1.……………9分(3)设c1=(t∈N*),等比数列c1,c2,…,cm的公比为q.因为c2≤,所以q=≤.从而cn=c1qn-1≤(1≤n≤m,n∈N*).所以c1+c2+…+cm≤+++…+=[1-]=-.…………13分设函数f(x)=x-,(m≥3,m∈N*).当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x-为单调增函数.因为当t∈N*,所以1<≤2.所以f()≤2-.25\n即c1+c2+…+cm≤2-.………16分5、解:(1)证明:依题意,,……3分从而,又,所以是首项为,公比为的等比数列.……5分(2)①法1:由(1)得,等比数列的前3项为,,,则,解得,从而,……7分且解得,,所以,.……10分法2:依题意,得……7分消去,得消去,得消去,得,从而可解得,,,,所以,.……10分②假设存在满足题意的集合,不妨设,,,,且,,,成等差数列,则,因为,所以,①25\n若,则,结合①得,,化简得,,②因为,,不难知,这与②矛盾,所以只能,同理,,所以,,为数列的连续三项,从而,即,故,只能,这与矛盾,所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合.……16分(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给1分.)6、25\n7、解:(1)因为,,所以,25\n因为数列是各项不为零的常数列,所以,,则由及得,当时,,两式相减得,当时,,也满足,故.…………4分(2)因为,当时,,两式相减得,即,,即,又,所以,即,所以当时,,两式相减得,所以数列从第二项起是公差为等差数列;又当时,由得,当时,由得,故数列是公差为等差数列.…………15分(3)由(2)得当时,,即,因为,所以,即,所以,即,所以,当时,,两式相减得,即,故从第二项起数列是等比数列,所以当时,,,另外由已知条件得,又,,,25\n所以,因而,令,则,因为,所以,所以对任意的,数列单调递减.……………16分8、解:(1)由题意,得,显然的系数为0,所以,从而,.………………………4分(2)由,考虑的系数,则有,得,即,所以数列单调递增,且,所以,当时,.…………………………10分(3)由(2),因数列是等差数列,所以,所以对一切都成立,若,则,与矛盾,若数列是等比数列,又据题意是等差数列,则是常数列,这与数列的公差不为零矛盾,所以,即,由(1)知,,所以.………16分(其他方法:根据题意可以用、表示出,,,,由数列为等差数列,利用,解方程组也可求得.)解法2:由(1)可知,,因为数列是等差数列,设公差为,,.又由(2)25\n,所以得,若即时,,,与条件公差不为零相矛盾,因此则.由,可得,整理可得代入,,或若,则,与矛盾,若,则,满足题意,所以9、解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.………………………………3分由条件a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组解得所以an=n+1,bn=2n,n∈N*.………………………………7分(2)由题意知,cn=(n+1)×2n.记Tn=c1+c2+c3+…+cn.则Tn=c1+c2+c3+…+cn=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n,2Tn=2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n+(n+1)2n+1,所以-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1,……………………………11分即Tn=n·2n+1,n∈N*.………………………………14分10、解:(1)由条件,,令,得.…………………………………………………………2分又,且,易求得.……………………………4分再令,得,求得.…………………………………………6分(2)∵(1)∴(2)25\n由(1)-(2)得,……………………………………………8分∴∴∴,∴数列为常数数列.………………………12分∴∴∴数列为等差数列.……………………………………………………………14分又公差,∴.……………………………………………16分11、(1)因为,所以,同理,,,……………………2分又因为,,…………………………………………………3分所以,故,,成等差数列.………………………………4分(2)由,得,…………………………5分令,则,,所以是以0为首项公差为的等差数列,故,…6分即,所以,所以.………………………………………………………8分,当,……………………………………………………………9分当.………………10分所以数列的前项和(3)由(2)知,用累加法可求得,25\n当时也适合,所以 ……………………12分假设存在三项成等比数列,且也成等比数列,则,即, ………14分因为成等比数列,所以,所以,化简得,联立,得.这与题设矛盾.故不存在三项成等比数列,且也成等比数列.…16分12、解:(1)数列是各项均为正数的等比数列,,,又,,,;…………4分(2)(ⅰ)必要性:设这三项经适当排序后能构成等差数列,①若,则,,,.…………6分②若,则,,左边为偶数,等式不成立,③若,同理也不成立,综合①②③,得,所以必要性成立.…………8分(ⅱ)充分性:设,,则这三项为,即,调整顺序后易知成等差数列,所以充分性也成立.综合(ⅰ)(ⅱ),原命题成立.…………10分(3)因为,即,(*)当时,,(**)则(**)式两边同乘以2,得,(***)(*)-(***),得,即,又当时,,即,适合,.………14分,,25\n时,,即;时,,此时单调递减,又,,,,.……………16分13、25\n25\n14、解:(1)设,因为.…………………………………2分若数列是等比数列,则必须有(常数),即,即,…………………5分此时,25\n所以存在实数,使数列是等比数列………………………………………6分(注:利用前几项,求出的值,并证明不扣分)(2)由(1)得是以为首项,为公比的等比数列,故,即,…………………8分由,得,……10分所以,,………………………………………………………………12分显然当时,单调递减,又当时,,当时,,所以当时,;,同理,当且仅当时,.综上,满足的所有正整数为1和2.……………………………………………16分15、证明:(1)设数列的公差为,∵,∴,∴数列是公差为的等差数列. ………………4分25\n(2)当时,,∵,∴,∴,∴,∵数列,都是等差数列,∴为常数,∴数列从第二项起为等差数列. ………………10分(3)数列成等差数列. 解法1 设数列的公差为,∵,∴,∴,…,,∴, 设,∴,两式相减得:,即,∴,∴,∴, ………………12分令,得,∵,∴,∴,∴,∴,∴数列()是公差为的等差数列, ………………14分∵,令,,即,∴数列是公差为的等差数列. ………………16分25\n解法2 ∵,,令,,即,………………12分∴,,∴,∵数列是等差数列,∴,∴, ………………14分∵,∴,∴数列是等差数列. ………………16分25
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高考 - 二轮专题
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