上海市2023高考数学一轮复习 专题突破训练 数列 理

上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2015年上海高考）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　）　A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根　C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根2、（2014年上海高考）设无穷等比数列的公比为，若，则.3、（2013年上海高考）设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则5、（闵行区2015届高三二模）已知数列满足，则使不等式成立的所有正整数的集合为6、（浦东新区2015届高三二模）已知数列的前项和，则该数列的通项公式.7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）已知函数，各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列，使得；(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；(3)若数列是等差数列，则对恒成立．其中真命题的序号是（）（A）(1)(2)（B）(1)(3)（C）(2)(3)（D）(1)(2)(3)8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）设等差数列满足，，的前项和的最大值为，则=__________21\n9、（虹口区2015届高三上期末）设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则10、（金山区2015届高三上期末）等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=▲(nÎN*)．11、（静安区2015届高三上期末）已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和12、（青浦区2015届高三上期末）设是等差数列的前项和，若，则13、（徐汇区2015届高三上期末）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为14、（黄浦区2015届高三4月模拟考试（二模））在等差数列中，若，，则正整数　　　　　　15、（）把正整数排列成如图的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图的三角形数阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则11234245678957910111213141516101214161718192021222324251719212325262728293031323334353626283032343621\n二、解答题1、（2015年上海高考）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．2、（2014年上海高考）已知数列满足，，.(1)若，求的取值范围；(2)设是公比为的等比数列，.若，，求的取值范围；(3)若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.3、（2013年上海高考）给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；21\n（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．5、（闵行区2015届高三二模）各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．（1）求数列的通项公式；（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；（3）如果存在，使不等式成立，求实数的范围．6、（浦东新区2015届高三二模）记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令．（1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若为公差大于零的等差数列，求证：是等差数列.7、（普陀区2015届高三二模）已知数列的前项和为，且，（1）若，求数列的前项和；（2）若，，求证：数列为等比数列，并求出其通项公式；21\n（3）记，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知数列中，，，的前项和为，且满足（）．（1）试求数列的通项公式；（2）令，是数列的前项和，证明：；（3）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．9、（宝山区2015高三上期末）设数列的首项为常数，且．（1）证明：是等比数列；（2）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（3）若是递增数列，求的取值范围．10、（崇明县2015高三上期末）已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式，求数列的通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.11、（奉贤区2015高三上期末）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第21\n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．12、（奉贤区2015高三上期末）对于正项数列，若对一切恒成立，则对也恒成立是真命题．（1）若，，且，求证：数列前项和；（2）若，，求证：．13、（虹口区2015高三上期末）已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.（1）求证：成等差数列；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，且为其前项和，求证：对任意正整数，不等式恒成立.14、（上海市八校2015届高三3月联考）在数列中，21\n。（1）若数列满足，求证：数列是等比数列；（2）设，记，求使的最小正整数的值。15、（黄浦区2015届高三4月模拟考试（二模））已知数列满足，对任意都有．(1)求数列()的递推公式；(2)数列满足()，求通项公式；(3)设，问是否存在实数使得数列()是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．参考答案一、填空、选择题21\n1、解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B2、【解析】：，∵，∴3、【解答】，．4、　　　5、　　6、　　7、D　　8、29、－2　10、3n+2　11、　12、6　　　13、14、14　　15、1030二、解答题1、（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2bn+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{bn}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，21\n∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．2、【解析】：（1）依题意，，∴，又，∴，综上可得；（2）由已知得，又，∴当时，，，即，成立当时，，，即，∴，此不等式即，∵，∴，对于不等式，令，得，解得，又当时，，∴成立，∴当时，，，即，即，∵∴时，不等式恒成立综上，的取值范围为21\n（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，∴，则由已知得，∴，当时，不等式即，∴，，∴时，，解得，∴，∴的最大值为，此时公差3、【解答】：（1）因为，，故，（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明若，显然有成立；若，则显然成立综上，恒成立，即对任意的，（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有此时，即故，即，当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；21\n若，则，此时，也满足题意；综上，满足题意的的取值范围是．4、解：（1）不是封闭数列，因为，……………………………………1分对任意的，有，……………………………………2分若存在，使得，即，，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列……………………………………4分（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使，……6分下面证明整数．对，若，则取，对，存在使，即，，所以，矛盾，故存在整数，使．……………………………………8分（充分性）若存在整数，使，则，对任意，因为，所以是封闭数列.……………………………………10分（3）由于，所以，……………11分因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，若，则，此时不存在．所以没有意义…12分若，则，所以，…………………13分若，则，于是，21\n所以，……………………………………16分若，则，于是，所以，……………………………………17分综上讨论可知：，，该数列是封闭数列．………18分5、[解]（1）（文理）当时，由得…………1分当时，由，得因数列的各项均为正数，所以………………………………3分所以数列是首相与公差均为等差数列所以数列的通项公式为．………………………………4分（2）（理）数列的通项公式为……………………5分当时，数列共有项，其所有项的和为………………………………8分当时，数列共有项，其所有项的和为……………………………11分（文）数列的通项公式为…………………………5分数列中一共有21\n项，其所有项的和为……8分……………………………11分（3）（理）由得……………………………13分记由递减（或）………………………15分得，所以实数的范围为,即．……………………………18分(文)由得……………………………13分记因为，当取等号，所以取不到当时，的最小值为（）递减，的最大值为…………15分所以如果存在，使不等式成立21\n实数应满足，即实数的范围应为．………………………18分6、解：（1）因为数列从第2项起单调递增，，所以；；………………………2分当时，……………………………………………………4分（2）数列的通项公式为，递减且.由定义知，……………………………………………………6分，数列递增，即………………8分…………………………………………………10分（3）①先证数列递增，利用反证法证明如下：假设是中第一个使的项，，……………………………………………………12分与数列是公差大于0的等差数列矛盾.故数列递增.……………………………………………………………………14分②已证数列递增，即，；，………………………………………………………………16分设若的公差为，则故是等差数列.………………………………………………………18分7、解：（1）(2)由21\n代入得，当时，，因为，代入上式整理得，所以的常数.当时，所以数列是等比数列，首项为，公比为，其通项公式为（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以对任意的，恒成立，所以.由知，所以数列是单调递增的，最小值为，因此，实数的取值范围是.8、（1）由（），得（），所以（），即（）……………………（2分）又，所以．……………………（4分）（2），………………（2分）所以，．…………………………………………………………（5分）21\n所以，．（3）由（2），，因为，所以随着的增大而增大．………………………………………………（1分）若，则，化简得，…………（2分）因为，所以，所以，，……………………………………（4分）当，即时，取即可．…………（5分）当，即时，记的整数部分为，取即可．……………………………………………………………（7分）综上可知，对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．……………………………………（8分）9、证明：（1）因为，所以数列是等比数列；……3分（2）是公比为－2，首项为的等比数列．通项公式为，…………………4分若中存在连续三项成等差数列，则必有，即解得，即成等差数列．………………………………………7分（3）如果成立，即对任意自然数均成立．化简得…………………………………………9分21\n当为偶数时,因为是递减数列，所以，即；……………………………………………………………10分当为奇数时，,因为是递增数列，所以，即；………………………………………11分故的取值范围为．…………………………………………………12分10、解：（1）等差数列满足得所以，（2）由上时，由于当时，，所以（3）由得对一切恒成立，由于为减函数，所以，取值范围是。11、（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；1分数列是首项为、公差为的等差数列，2分21\n所以数列的前和，4分数列的前项和，6分所以经过年，该市更换的公交车总数；7分（2）因为、是关于的单调递增函数，9分因此是关于的单调递增函数，10分所以满足的最小值应该是，11分即，解得，12分又，所以的最小值为147．13分12、（1），2分，4分，6分；7分(2)，10分，11分，12分13分。14分13、（1）解：①；②；①－②得，得证；（2）解：由，得，结合第（1）问结论，即可得是等差数列；21\n（3）解：根据题意，，；要证，即证；当时，成立；假设当时，成立；当时，；要证，即证，展开后显然成立，所以对任意正整数，不等式恒成立；14、（1）因为，所以，代入得------2分化简得：------4分又------5分所以是以为首项，为公比的等比数列。-------6分（2）由（1）得，所以------8分由，得-------9分------10分所以。-------12分21\n若，则，即，得所以满足条件的最小正整数等于。-------14分15、解(1)对任意都有成立，∴令，得．∴数列()的递推公式是(2)由(1)可知，数列()是首项和公比都为的等比数列，于是．　由()，得()．故．当时，．所以(3)∵，∴当时，，　　　　　　　，依据题意，有，即．当为大于或等于4的偶数时，有恒成立，又随增大而增大，则，故的取值范围为；21\n当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为；当时，由，得．　　综上可得，所求的取值范围是．21