高考数学总复习 8-5双曲线 新人教B版
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8-5双曲线基础巩固强化1.(2012·深圳模拟)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] A[分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距,再根据双曲线的定义,求曲线C2的标准方程.[解析] 在椭圆C1中,因为e=,2a=26,所以椭圆的焦距2c=10,根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c=10,可知b=3,所以双曲线的标准方程为-=1,故选A.2.(2012·东北三校联考)存在两条直线x=±m与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A、B、C、D四点,若四边形ABCD为正方形,则双曲线的离心率的取值范围为( )A.(1,)B.(1,)C.(,+∞)D.(,+∞)[答案] C[解析] 依题意,不妨设直线AC的倾斜角为锐角,则直线AC的倾斜角为45°,该直线与双曲线有两个不同的交点,因此有>tan45°=1,双曲线的离心率e==>=,则该双曲线的离心率的取值范围是(,+∞),选C.3.(2011·青岛一检)设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且·=0,则|+|=( )A.B.2C.D.2[答案] B[解析] ∵F1、F2为双曲线的左右焦点,∴F1(-,0),F2(,0),16\n由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知,|+|=|2|=2,故选B.4.(文)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为y=±x,因为点(4,-2)在渐近线上,所以=,根据c2=a2+b2可得,=,化为e2=,故e=,故选D.(理)已知F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段F1F2为边作正△MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )A.4+2B.-1C.D.+1[答案] D[解析] 设线段MF1的中点为P,由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形,∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.由双曲线的定义知:(-1)c=2a,∴e==+1.5.(文)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上.则双曲线的方程为( )16\nA.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] B[解析] 由题易知=,①且双曲线焦点为(6,0)、(-6,0),则有a2+b2=36,②由①②知:a=3,b=3,∴双曲线方程为-=1,故选B.(理)(2011·天津文,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )A.2B.2C.4D.4[答案] B[解析] 由交点(-2,-1)得-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x,∴F(2,0),又a+=a+2=4,∴a=2,双曲线的一条渐近线为y=x,且过点(-2,-1),∴a-2b=0,∴b=1,∴c2=a2+b2=5,∴c=,2c=2.故选B.6.如图,F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A1、A2是双曲线的两个顶点,P是双曲线上不同于A1、A2的点,则分别以A1A2、F1P为直径的两个圆( )16\nA.相交B.相切C.相离D.以上均有可能[答案] B[解析] 取PF1的中点M,连接OM、PF2,∴|PF1|-|PF2|=±2a,|PF1|-|PF2|=±a,即|PF1|-|OM|=±a,∴|OM|=|PF1|±a=R±a,∴两圆相切.7.(文)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.[答案] [解析] 如图,双曲线的渐近线方程为y=±x,F(5,0),∴直线BF:y=(x-5),解得y=-,16\n又|AF|=5-3=2,∴S△AFB=×2×=.(理)若双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围是________.[答案] 1<e≤2[解析] 由题意∴∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c,∴e=≤2,∴1<e≤2.8.(2011·浙江杭州月考)双曲线x2-=1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为________.[答案] [解析] 双曲线x2-=1的右焦点F(c,0)到渐近线bx+y=0的距离:=b=2,又a=1.∴c2=a2+b2=5,c=.∴双曲线的离心率e==.9.(文)(2012·宝鸡一检)若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是2,则的最小值为________.[答案] 16\n[解析] 由离心率e=2得,=2,从而b=a>0,所以==a+≥2=2=,当且仅当a=,即a=时“=”成立.(理)P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.[答案] 5[解析] 双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.10.(文)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.[解析] (1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线方程为-=1.(2)证明:法1:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,kMF1·kMF2==,∵点M(3,m)在双曲线上,∴m2=3,∴kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,16\n即·=0.法2:∵=(-2-3,-m),=(2-3,-m),∴·=(-2-3)×(2-3)+m2=-3+m2,∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|=4,△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=6.(理)(2013·陕西师大附中上学期一模)已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足=,点T(-1,1)在边AC所在直线上,且·=0.(1)求△ABC外接圆的方程;(2)一动圆过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求此动圆圆心的轨迹Γ的方程;(3)过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P、Q两点,满足·>6,求k的取值范围.[解析] (1)∵·=0,∴AT⊥AB,从而直线AC的斜率为-3.所以AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).即3x+y+2=0.由得点A的坐标为(0,-2),∵=,16\n∴M(2,0)为Rt△ABC外接圆的圆心,又r=|AM|==2.所以△ABC外接圆的方程为:(x-2)2+y2=8.(2)设动圆圆心为P,因为动圆过点N,且与△ABC外接圆M外切,所以|PM|-|PN|=2.故点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2,半焦距c=2的双曲线的左支.从而动圆圆心的轨迹Γ方程为-=1(x<0).(3)直线PQ方程为y=kx-2,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得:(1-k2)x2+4kx-6=0(x<0).∴解得:-<k<-1.故k的取值范围为(-,-1).能力拓展提升11.(文)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x-2)2+y2=1都相切,则双曲线C的离心率是( )A.或2B.2或C.或D.或[答案] A[解析] 焦点在x轴上时,由条件知=,∴=,∴e==,同理,焦点在y轴上时,=,此时e=2.(理)若原点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C.[-,+∞)D.[,+∞)[答案] B[解析] ∵a2+1=22=4,∴a2=3,∴双曲线方程为-y2=1.16\n设P点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+2,y),∵y2=-1,∴·=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1=(x+)2-.又∵x≥(右支上任意一点),∴·≥3+2.故选B.12.(文)(2011·山东临沂一模)设F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为( )A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0[答案] C[解析] 在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠PF1F2====.所以|PF1|=c.又|PF1|-|PF2|=2a,即c-2c=2a,所以c=a.代入c2=a2+b2得=±.因此,双曲线的渐近线方程为4x±3y=0.(理)△ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C(其中m>0,且m为常数),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1(x>) D.-=116\n[答案] C[解析] 依据正弦定理得:|AB|-|AC|=|BC|=<|BC|∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支,且a=,c=,∴b2=c2-a2=∴双曲线方程为-=1(x>)13.点A(x0,y0)在双曲线-=1的右支上,若点A到右焦点的距离等于2x0,则x0=__________.[答案] 2[解析] 右焦点F(6,0),A点在双曲线上,14.(文)(2012·辽宁文,15)已知双曲线x2-y2=1,点F1、F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.[答案] 2[解析] 本题考查了双曲线的概念.设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,∴2mn=4,∴(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=12,∴|PF1|+|PF2|=2.[点评] 充分利用PF1⊥PF2,将||PF1|-|PF2||=2a,转化到|PF1|+|PF2|是解决本题的关键,也可以设|PF2|=x,利用定义及PF1⊥PF2建立x的方程求解.16\n(理)已知两个正数a、b的等差中项为,椭圆+=1(a>b)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为________.[答案] [解析] 由条件知∵a2-b2=c2=a2,∴2a=3b,∴b=2,a=3.∴双曲线的离心率e==.15.设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,若=,求a的值.[解析] (1)将y=-x+1代入双曲线-y2=1中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,①由题设条件知,解得0<a<且a≠1,又双曲线的离心率e==,∵0<a<且a≠1,∴e>且e≠.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵=,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).∴x1=x2,∵x1、x2是方程①的两根,且1-a2≠0,∴x2=-,x=-,消去x2得,-=,∵a>0,∴a=.16.(文)(2012·湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l16\n,交双曲线左支于A、B两点,交y轴于点C,且满足|PA|·|PB|=|PC|2.(1)求双曲线的标准方程;(2)设点M为双曲线上一动点,点N为圆x2+(y-2)2=上一动点,求|MN|的取值范围.[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y=kx,因为渐近线与圆(x-5)2+y2=5相切,则=,即k=±,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.设双曲线方程为x2-4y2=m,将y=(x+4)代入双曲线方程中整理得,3x2+56x+112+4m=0.所以xA+xB=-,xAxB=.因为|PA|·|PB|=|PC|2,点P、A、B、C共线,且点P在线段AB上,则(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16.所以4(xA+xB)+xAxB+32=0.于是4·(-)++32=0,解得m=4.故双曲线方程是x2-4y2=4,即-y2=1.(2)设点M(x,y),圆x2+(y-2)2=的圆心为D,则x2-4y2=4,点D(0,2).所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2=5y2-4y+8=5(y-)2+≥.所以|MD|≥,从而|MN|≥|MD|-≥.故|MN|的取值范围是[,+∞).(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).16\n(1)求C的离心率;(2)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.[解析] (1)由题意知,l的方程为:y=x+2,代入C的方程并化简得,(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=-,①由M(1,3)为BD的中点知=1,故×=1,即b2=3a2,②故c==2a,∴C的离心率e==2.(2)由②知,C的方程为3x2-y2=3a2,A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-<0,故不妨设x1≤-a,x2≥a,|BF|===a-2x1,|FD|===2x2-a,|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.又|BF|·|FD|=17,故5a2+4a+8=17,解得a=1,或a=-.故|BD|=|x1-x2|==6.连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,从而MA=MB=MD,∠DAB=90°,因此以M为圆心,MA为半径的圆过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.1.(2011·广东揭阳市模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )16\nA.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x[答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c=4,由e==2⇒a=2,∴b==2,∵双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选D.2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点( )A.在x轴上B.在y轴上C.在x轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上[答案] A[解析] 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为:x2-y2=λ,将(m,n)代入x2-y2=λ得:m2-n2=λ>0,从而该双曲线的焦点在x轴上.3.(2012·浙江文,8)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点,若M、O、N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A.3B.2C.D.[答案] B[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法.设椭圆长轴长为2a,则双曲线实半轴长为=,因为椭圆与双曲线有公共焦点,16\n所以离心率的比值==2.4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] B[解析] 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:两式作差得:==,又AB的斜率是=1,所以b2=a2,代入a2+b2=9得,a2=4,b2=5,所以双曲线标准方程是-=1,故选B.5.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当动点M在底面ABCD内运动时,总有:D1A=D1M,则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧.( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时,动点的轨迹是以D1D为轴线,以D1A为母线的圆锥,与平面ABCD的交线即圆的一部分.故选A.6.(2012·河南郑口中学模拟)已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,点P为双曲线右支上任意一点,则以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是( )16\nA.相离B.相切C.相交D.不确定[答案] B[解析] 设双曲线左焦点为F1,PF的中点为C,则由双曲线的定义知,|PF1|-|PF|=2a,∵C、O分别为PF、F1F的中点,∴|PF1|=2|CO|,|PF|=2|PC|,∴|CO|-|PC|=a,即|PC|+a=|CO|,∴两圆外切.7.设F1、F2为曲线C1:+=1的焦点,P是曲线C2:-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为( )A.B.1C.D.2[答案] C[解析] ∵P是曲线C1与C2的交点,∴联立方程组解之得,|y|=,由条件知|F1F2|=4,∴S△PF1F2=·|F1F2|·|y|=×4×=.故选C.8.已知P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上的一点,F1(-c,0)、F2(c,0)分别是其左、右焦点,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为________.[答案] a[解析] 令内切圆与F1F2的切点为G,与PF1的切点为H,与PF2的切点为K,则(|PH|+|HF1|)-(|PK|+|KF2|)=|F1G|-|GF2|=2a,又|F1G|+|GF2|=2c,则|F1G|=a+c,∴切点为右顶点,易知圆心的横坐标为a.16
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