高考数学总复习 8-4椭圆 新人教B版
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8-4椭圆基础巩固强化1.(2011·东莞模拟)设P是椭圆+=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )A.4 B.5 C.8 D.10[答案] D[解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10.2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx2+ny2=1,即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴需有:∴m>n>0,故互为充要条件.3.(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2,焦点为F1、F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D.以上都不是[答案] A[解析] 画出草图(图略),根据题意可得e==cos45°=,故选A.(理)(2012·新课标全国,4)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法.14\n设直线x=与x轴交于点M,则由条件知,∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°===,解得=,故离心率e=.[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求a、c所满足的数量关系,从而确定离心率的值.4.(文)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆+=1的焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是( )A.B.3C.D.[答案] A[解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4,∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°.设P(x,3),代入椭圆方程得x=±.即点P到y轴的距离是.(理)(2012·抚顺质检)椭圆+y2=1的左、右焦点为F1、F2,点M在椭圆上,·=0,则M到y轴的距离为( )A.B.C.D.[答案] B[分析] 条件·=0,说明点M在以线段F1F2为直径的圆上,点M又在椭圆上,通过方程组可求得点M的坐标,即可求出点M到y轴的距离.[解析] 解法1:椭圆的焦点坐标是(±,0),点M在以线段F1F214\n为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入椭圆得+3-x2=1,解得x2=,即|x|=,此即点M到y轴的距离.解法2:由·=0知,MF1⊥MF2,∴∴由|MF1|2=t·|F1F2|得t=+,∴M到y轴的距离为t-=.解法3:设M(x0,y0),则+y=1,∴y=1-,①∵·=0,∴MF1⊥MF2,∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2=12,又F1(-,0),F2(,0),∴(x0+)2+y+(x0-)2+y=12,将①代入解得x0=±,∴M到y轴的距离为.[点评] 满足·=0(其中A、B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆.5.(文)已知F是椭圆+=1的一个焦点,AB为过其中心的一条弦,则△ABF的面积最大值为( )A.6B.15C.20D.12[答案] D[解析] S=|OF|·|y1-y2|≤|OF|·2b=12.(理)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM14\n的周长为( )A.4B.8C.12D.16[答案] B[解析] 直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M、N恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8.6.(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为( )A.20B.22C.24D.28[答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0),点P在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=25,代入椭圆方程得y2=,即|y|=,所以S△PF1F2=×10×=24,故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解.由定义知,|PF1|+|PF2|=14 (1),由△PF1F2为直角三角形及c==5得|PF1|2+|PF2|2=100 (2),(1)式两边平方与(2)式相减得:|PF1|·|PF2|=48,∴S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=24.(理)(2011·河北唐山市二模)P为椭圆+=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则·等于( )A.3B.C.2D.2[答案] D[解析] 由题意可得|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,所以4=42-3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4,·=||||·cos60°=4×=2,故选D.7.(2011·安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P14\n点到椭圆左焦点距离为________.[答案] 4[解析] |OM|=3,|PF2|=6,又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4.8.若方程x2sin2α-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,那么α的取值范围是________.[答案] ,k∈Z[解析] 根据题意知,化简得,解得α∈(k∈Z).9.已知椭圆M:+=1(a>0,b>0)的面积为πab,M包含于平面区域Ω:内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为,则椭圆M的方程为________.[答案] +=1[解析] 平面区域Ω:是一个矩形区域,如图所示,依题意及几何概型,可得=,即ab=2.因为0<a≤2,0<b≤,所以a=2,b=.所以,椭圆M的方程为+=1.10.(2012·会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为F1(-,0),F2(14\n,0),且椭圆过点M(1,-).(1)求椭圆方程;(2)过点N(-,0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于P、Q两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠PAQ的大小是否为定值,并说明理由.[解析] (1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意c=,且椭圆过点M(1,-),∴⇒∴椭圆方程为+y2=1.(2)设直线PQ:x=ty-,由消去x得,(t2+4)y2-ty-=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴y1y2=-,y1+y2=,又A(-2,0),∴·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+)(ty2+)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+=0,∴∠PAQ=(定值).能力拓展提升11.(2011·浙江文,9)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( )A.a2=B.a2=13C.b2=D.b2=214\n[答案] C[解析] 由已知双曲线渐近线为y=±2x.圆方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a.不妨取y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,∴|OP|=.则点P坐标为(,),又∵点P在椭圆上,∴+=1.①又∵a2-b2=5,∴b2=a2-5.②,解①②得故选C.12.(文)设F是椭圆+=1的左焦点,且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,…,2011),且线段|FP1|,|FP2|,|FP3|,…,|FP2011|的长度成等差数列,若|FP1|=2,|FP2011|=8,则点P2010的横坐标为( )A.B.C.D.[答案] C14\n[解析] ∵椭圆+=1,∴F(-3,0),由|FP1|=2=a-c,|FP2011|=8=a+c,可知点P1为椭圆的左顶点,P2011为椭圆的右顶点,即x1=-5,x2011=5=-5+2010d,∴d=,则数列{xi}是以-5为首项,为公差的等差数列,∴x2010=-5+2009×=.(理)(2011·江西七校联考)如图,有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是( )A.a1+c1>a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.a1c2<a2c1D.a1c2>a2c1[答案] D[解析] 依题意得,a1>a2,c1>c2,a1+c1>a2+c2;两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等,即有a1-c1=a2-c2;由a1>a2,得<,又a1-c1=a2-c2,因此<,即有<,a1c2<a2c1.因此,不正确的结论是D,选D.13.如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为________.[答案] e2-1[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,∴kAB·kOM=·===e2-1.14.以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1,且直线MF1与此圆相切,则椭圆的离心率e等于________.[答案] -1[解析] 由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c,14\n又|F1F2|=2c,∴|MF1|=c,由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a,∴c+c=2a,∴e==-1.15.(文)设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列.(1)求|AB|;(2)若直线l的斜率为1,求b的值.[解析] (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.(2)l的方程为y=x+c,其中c=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.则=(x1+x2)2-4x1x2=-=.解得b=.14\n(理)(2012·广东文,20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.[解析] (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1,将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b2=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0整理得2k2-m2+1=0,①由消去y并整理得,k2x2+(2km-4)x+m2=0,因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1,②综合①②,解得或所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.16.(文)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.[解析] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)由题意解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.14\n(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.因为=(x-m,y),所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×.=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4时,||2取得最小值.而x∈[-4,4],故有4m≥4,解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1,4].(理)(2011·北京文,19)已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.[解析] (1)由已知得,c=2,=,解得a=2,又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m由消去y得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),则x0==-,y0=x0+m=.14\n因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB,所以PE的斜率k==-1.解得m=2,此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=3,此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d==,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.1.若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程是( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.x2+=1[答案] A[解析] 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,∴a=2,c=,∵c2=a2-b2,∴b2=2,∴椭圆的方程为+=1.2.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个顶点,若2=+,则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.[答案] B14\n[解析] 由2=+知F1是AF2的中点,∴a-c=2c,∴a=3c,e=.3.F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线[答案] A[解析] ∵PQ平分∠F1PA,且PQ⊥AF1,∴Q为AF1的中点,且|PF1|=|PA|,∴|OQ|=|AF2|=(|PA|+|PF2|)=a,∴Q点轨迹是以O为圆心,a为半径的圆.4.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分成3:1两段,则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 椭圆中c2=a2-b2,∴焦距2c=2,抛物线的焦点F,由题意知|F1F|=3|FF2|,∴|F1F2|=4|FF2|,14\n∴c=2|FF2|,即c=2,∴c=b,∴c2=a2-c2,∴e=.5.(2011·银川二模)两个正数a、b的等差中项是,等比中项是,且a>b,则椭圆+=1的离心率e等于( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 由题意可知,又因为a>b,所以解得,所以椭圆的半焦距为c=,所以椭圆的离心率e==,故选C.6.(2012·沈阳市二模)已知F1、F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.+=1(y≠0)B.+y2=1(y≠0)C.+3y2=1(y≠0)D.x2+=1(y≠0)[答案] C[解析] 椭圆C:+=1中,a2=4,b2=3,∴c2=a2-b2=1,∴焦点F1(-1,0),F2(1,0),设G(x,y),P(x1,y1),则∴∵P在椭圆C上,∴+=1,∴+3y2=1.当y=0时,点G在x轴上,三点P、F1、F2构不成三角形,∴y≠0,∴点G的轨迹方程为+3y2=1.(y≠0)14
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