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【优化指导】2022高考数学总复习 第8章 第5节 椭圆课时演练 新人教A版
【优化指导】2022高考数学总复习 第8章 第5节 椭圆课时演练 新人教A版
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活页作业 椭 圆一、选择题1.(2022·西安模拟)以坐标轴为对称轴,离心率为,且过点(2,0)的椭圆方程是( )A.+y2=1 B.+=1或+x2=1C.x2+=1 D.+y2=1或+=1且离心率e===,适合题意,故排除A.答案:D2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为( )A. B. C. D.解析:由,消去y整理得7x2+12x+8=0,9\n由弦长公式得|AB|=·=.答案:B3.(理)(2022·邢台模拟)在平面直角坐标系中,椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c,一圆以O为圆心,a为半径,过点作圆的两切线互相垂直,则椭圆的离心率e等于( )A. B.C. D.解析:如图所示,由对称性可得∠OPQ=45°,所以=a得e=.答案:A3.(文)(2022·锦州模拟)一个正方形内接于椭圆,并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.解析:设椭圆的焦距为2c,则2a=(+1)c,∴e=.答案:C4.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到y轴的距离为( )A. B. C. D.解析:F1(-,0)、F2(,0),设M(x0,y0),由·=0,可得x0=±.答案:B9\n5.(理)设椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)( )A.必在圆x2+y2=1外B.必在圆x2+y2=1上C.必在圆x2+y2=1内D.和x2+y2=1的位置关系与e有关解析:由于x+x=(x1+x2)2-2x1x2=-2·===1+.∵c>0,2a-c>0,故上式大于1,即x+x>1,∴P(x1,x2)必在圆x2+y2=1外.答案:A5.(文)设椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( )A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能6.(理)已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②a-a=b-b;9\n③>;④a1-a2<b1-b2.其中,所有正确结论的序号是( )A.②③④ B.①③④C.①②④ D.①②③解析:由已知条件可得a-b=a-b,可得a-a=b-b,而a1>a2,可知两椭圆无公共点,即①正确;又a-a=b-b,知②正确;由a-b=a-b,可得a+b=b+a,则a1b2,a2b1的大小关系不确定,>不正确,即③不正确;∵a1>b1>0,a2>b2>0,∴a1+a2>b1+b2>0,而又由(a1+a2)(a1-a2)=(b1+b2)(b1-b2),可得a1-a2<b1-b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④.答案:C6.(文)如图,有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是( )A.a1-c1=a2-c2 B.a1+c1>a2+c2C.a1c2>a2c1 D.a1c2<a2c17.(2022·九江模拟)已知点F1,F2分别是椭圆+=1(k>-1)的左、右焦点,弦AB过点F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为________.解析:由椭圆定义有4a=8,a=2,所以k+2=a2=4,∴k=2,从而b2=k+1=3,c2=a2-b2=1,所以e==.答案:8.(理)已知F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,A,B分别是此椭圆的右顶点和上顶点,P是椭圆上一点,OP∥AB,PF1⊥x轴,|F1A|=+9\n,则此椭圆的方程是________________.解析:如图,由PF1⊥x轴,可得|PF1|=,再利用OP∥AB可得kOP=kAB,从而有,又a2=b2+c2,解得a2=10,b2=5.所以椭圆方程为:+=1答案:+=18.(文)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________.解析:由题意得2a=12,=,所以a=6,c=3,b=3,故椭圆G的方程为+=1.答案:+=1三、解答题9.(理)(2022·天水模拟)已知直线l:y=kx+b与椭圆+y2=1相交于A、B两点,O为坐标原点.(1)当k=0,0<b<1时,求△AOB的面积S的最大值;(2)⊥,求证:直线l与以原点为圆心的定圆相切,并求该圆的方程.解:(1)把y=b代入+y2=1,得x=±.∴|AB|=2∴S△AOB=×2·b=b=b≤·=,当且仅当b2=,即b=时取等号.9\n∴△AOB的面积S的最大值为.(2)由,消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),由离心率为,得=,解得a2=16.故椭圆C2的方程为+=1.(2)方法一:A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.由消去y整理得(1+4k2)x2=4,∴x=,9\n10.(2022·湖北高考)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.(1)解:如图(1),设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.①因为A点在单位圆上运动,9\n所以x+y=1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(-,0),(,0);当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-),(0,).(2)方法一:如图(2)、(3),∀k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1).直线QN的方程为y=2kx+kx1,由消去y整理得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2x-m2=0.依题意可知此方程的两根为-x1,x2,∴-x1+x2=-,即x2=.因为点H在直线QN上,所以y2-kx1=2kx2=.于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=,而PQ⊥PH等价于·==0,即2-m2=0.由m>0,得m=.故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.方法二:如图(2)、(3),∀x1∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1).9\n9
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:46:28
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