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【优化指导】2022高考数学总复习 第6章 第7节 数学归纳法课时演练 新人教A版

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活页作业 数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明“3n≥n3(n≥3,n∈N)”时,第一步证明中的初始值为(  )A.n=1  B.n=2  C.n=3  D.n=4解析:由题意知n0=3.答案:C2.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程中,第二步假设当n=k(k∈N*)时等式成立,则当n=k+1时应得到(  )A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k解析:由n=k到n=k+1等式的左边增加了一项,故选D.答案:D3.观察下列式子:1+<,1++<,1+++<.则可归纳出1++++…++小于(  )A.  B.  C.  D.解析:观察,,与项数的关系可得结论为.答案:A4.用数学归纳法证明“+++…+≥(n∈N*)”时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应加的项为(  )A.B.+C.+-D.+--5\n5.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立.根据(1)和(2)可知对任何n∈N*,<n+1都成立.则上述证法(  )A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:在证明n=k+1时,没有用到归纳假设,所以选D.答案:D6.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为(  )A.  B.C.  D.解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2,5\n∴a2==,S3=3(2×3-1)a3,即++a3=15a3.∴a3==,a4=.故选C.答案:C二、填空题7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=__________,b=__________,c=_________.三、解答题9.(2022·烟台模拟)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+λa+(n∈N*).(1)若λ=μ=1,证明数列{lg(an+1)}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若λ=0,是否存在实数μ,使得an≥2对一切n∈N*恒成立?若存在,求出μ的取值范围,若不存在,说明理由.解:(1)∵λ=μ=1,则an+1=a+2an,∴an+1+1=(an+1)2,lg(an+1+1)=2lg(an+1),∴{lg(an+1)}是公比为2的等比数列,且首项为lg3,∴lg(an+1)=2n-1lg3,∴an+1=32n-1,∴an=32n-1-1(n∈N*).(2)方法一:由a2=2a1+=4+≥2,得μ≥-3,5\n猜想μ≥-3时,对一切n∈N*,an≥2恒成立.①当n=1时,a1=2,猜想成立.②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,ak≥2,则由an+1=得ak+1-2==≥=≥0,∴n=k+1时,ak+1≥2,猜想成立.由①②知,当μ≥-3时,对一切n∈N*,恒有an≥2.10.(金榜预测)设函数f(x)=x2ex-1-x3-x2(x∈R).(1)求函数y=f(x)的单调区间;5\n当n=k+1时,因为g′k+1(x)=ex-1-=ex-1->0,所以gk+1(x)在(1,+∞)上也是增函数.所以gk+1(x)>gk+1(1)=e0-=1->0,即当n=k+1时,不等式成立.由①②知当x∈(1,+∞)时,∀n∈N*,ex-1>.5

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发布时间:2022-08-26 00:46:33 页数:5
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文章作者:U-336598

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