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高考数学总复习 8-2圆的方程 新人教B版

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8-2圆的方程基础巩固强化1.(文)(2011·四川文,3)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(  )A.(2,3)        B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)[答案] D[解析] 将一般式化为标准式(x-2)2+(y+3)2=13.∴圆心坐标为(2,-3).(理)(2011·东北育才中学期末)圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是(  )A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)[答案] A[解析] 圆(x-1)2+(y+3)2=10-5a,由条件知,圆心C(1,-3)在直线y=x+2b上,∴b=-2,又10-5a>0,∴a<2,∴a-b<4.2.方程(x2+y2-4)=0表示的曲线形状是(  )[答案] C[解析] 注意到方程(x2+y2-4)=0等价于①或②x+y+1=0.①表示的是不在直线x+y+1=0的左下方且在圆x2+y2=4上的部分;②表示的是直线x+y+1=0.因此,结合各选项知,选C.3.(文)(2011·济南调研)已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是(  )A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=014\nC.x2+y2-2x-3=0D.x2+y2+2x-3=0[答案] A[解析] 设圆心为C(m,0)(m>0),因为所求圆与直线3x+4y+4=0相切,所以=2,整理得:|3m+4|=10,解得m=2或m=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即x2+y2-4x=0,故选A.(理)(2012·大连模拟)将圆x2+y2=1沿x轴正方向平移1个单位后得到圆C,若过(3,0)的直线l与圆C相切,则直线l的斜率为(  )A.B.±C.D.±[答案] D[解析] 如图,⊙C的方程为(x-1)2+y2=1,由条件知,AC=2,BC=1,∴∠BAC=30°,∴直线AB的倾斜角为150°,直线AD的倾斜角为30°,∴切线的斜率为±.4.(文)(2012·日照模拟)圆心在直线y=x上,经过原点,且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为(  )A.(x-1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=或(x+1)2+(y-1)2=2[答案] C[解析] 由圆心在直线y=x上排除B、D;由对称轴知,若圆(x-1)2+(y-1)2=2满足题意,则(x+1)2+(y+1)2=2也必满足题意,故选C.(理)(2011·青岛市教学质量统一检测)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(  )14\nA.2B.1+C.2+D.1+2[答案] B[解析] 圆的方程化为标准形式:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1)到直线x-y-2=0的距离d==,所求距离的最大值为+1,故选B.5.(文)(2011·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为(  )A.2x+y-3=0B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0D.2x-y-1=0[答案] D[解析] 圆心C(3,0),kCP=-,由kCP·kMN=-1,得kMN=2,所以MN所在直线方程是2x-y-1=0,故选D.(理)(2012·大连模拟)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M、N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是(  )A.[-,0]B.[-,]C.[-,0]D.(-∞,-]∪[0,+∞)[答案] C[解析] 由条件知圆心C(3,2)到直线的距离d≤=1,∴≤1,∴-≤k≤0.6.已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为(  )A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=8C.(x-4)2+(y-1)2=6D.(x-2)2+(y-1)2=5[答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)为顶点的三角形及其内部,且△OPQ14\n是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.7.(2011·西安二检)已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.[答案] [解析] ∵点A(1,2)在⊙O:x2+y2=5上,∴过A的切线方程为x+2y=5,令x=0得,y=,令y=0得,x=5,∴三角形面积为S=××5=.8.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部(含边界),则半径r的取值范围是________.[答案] (0,2][解析] 如图,曲线C:|x|+|y|=4为正方形ABCD,∵圆x2+y2=r2在曲线C的内部(含边界)∴0<r≤|OM|=2.9.(2012·北京模拟)与直线3x+4y+12=0平行,且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是________.[答案] 3x+4y±24=0[解析] 设l:3x+4y+m=0,令x=0得y=-,令y=0得x=-.由条件知,·|-|·|-|==24,∴m=±24,故直线l方程为3x+4y±24=0.10.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.14\n(1)证明不论k取何值,直线和圆总有两个不同交点;(2)当k取什么值时,直线被圆截得的弦最短?并求这最短弦的长.[解析] (1)证明:由kx-y-4k+3=0得(x-4)k-y+3=0.∴直线kx-y-4k+3过定点P(4,3).由x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,又(4-3)2+(3-4)2=2<4,∴点P在⊙C内,∴直线和圆总有两个不同的交点.(2)kPC==-1.可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦最短,因此过P点斜率为1的直线即为所求,其方程为y-3=x-4,即x-y-1=0.|PC|==,∴|AB|=2=2.[点评] 当点P在⊙C内时,过点P的所有直线l中,当l⊥PC时,l被⊙C截得的弦长最短.证明如下:如图,P在⊙C内,直线AB过P,且AB⊥PC,直线DE是过P与PC不垂直的任意一条弦(不是直径),过C作CM⊥DE,垂足为M,则PC>CM,∴PC14\n2>CM2,∵CD2=CA2,∴CD2-CM2>CA2-PC2,∴DM2>AP2,∴DM>AP,∵DE=2DM,AB=2AP,∴DE>AB,即过点P的任意与PC不垂直的弦长,总大于过点P与PC垂直的弦长(当DE为⊙C的直径时,DE>AB显然成立).能力拓展提升11.(文)(2011·济南二模)“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则有=2,即|a+1|=4,所以a=3或-5.但当a=3时,直线y=x+4与圆(x-a)2+(x-3)2=8一定相切,故“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要条件.(理)若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是(  )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定[答案] C[解析] 圆心C(0,0)到直线l的距离d=<1⇒a2+b2>1.故点P在⊙C外.12.(2012·福州八县联考)已知函数f(x)=,x∈[1,2],对于满足1<x1<x2<2的任意x1、x2,给出下列结论:14\n①f(x2)-f(x1)>x2-x1;②x2f(x1)>x1f(x2);③(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0;④(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0.其中正确结论的个数为(  )A.1    B.2    C.3    D.4[答案] B[解析] 曲线y=,x∈[1,2]表示圆(x-1)2+y2=1,位于直线x=1右侧x轴上方的四分之一个圆,∵1<x1<x2<2,∴f(x1)>f(x2).因此,[(f(x2)-f(x1))](x2-x1)<0,④错,③对;显然有kOA>kOB,∴>,∴x2f(x1)>x1f(x2),故②正确;又kAB=<0,可能有kAB<-1,也可能kAB>-1,∴①错.13.(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sin∠MCN的最大值为________.[答案] 1[解析] 当圆心C的纵坐标为p时,C(p,p)为圆心的圆方程为(x-p)2+(y-p)2=2p2,令y=0得,x=p±p,∴MC⊥NC,∴sin∠MCN=1.14.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为________.[答案] (x+3)2+(y-4)2=4(x≠-且x≠-)14\n[解析] 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,).由于平行四边形的对角线互相平分,故=,=.从而因为N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)(点P在直线OM上时的情况).15.(文)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.[分析] (1)设出点P的坐标,由|PA|=2|PB|写出方程,化简即可;(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M,故l2与C相切,当|QC|取最小值时,|QM|取到最小值,故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求.[解析] (1)设点P的坐标为(x,y),则=2,化得可得(x-5)2+y2=16即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图.14\n由题意知直线l2是此圆的切线,连接CQ,则|QM|==,当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,|CQ|==4,此时|QM|的最小值为=4.(理)已知过两定圆的一个交点O的动直线与两圆分别交于点A、B,求线段AB中点P的轨迹方程.[解析] 以O为原点建立平面直角坐标系如图.因为两定圆均过原点O,故可设其方程分别为:x2+y2-2ax-2by=0,①x2+y2-2cx-2dy=0.②当动直线斜率存在时,设其方程为y=kx.③将方程③分别与方程①②联立,可得xA=,xB=.设线段AB的中点为P(x,y),则14\nx==.④∵点P在直线y=kx上,∴将k=代入④消去k得,x=.整理得x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0.⑤当动直线斜率不存在时,其方程为x=0,分别代入①②可得A(0,2b),B(0,2d),则AB的中点P为(0,b+d),将此代入⑤式,仍成立.∴所求动点P的轨迹方程为:x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0.16.(文)设O点为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称,且·=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.[解析] (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.∵点P,Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称.∴圆心(-1,3)在直线上,代入直线方程得m=-1.(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,∴设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.将y=-x+b代入圆方程得,2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.Δ=4(4-b)2-8×(b2-6b+1)>0,∴2-3<b<2+3,由韦达定理得,x1+x2=b-4,x1·x2=,y1·y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1·x2=,∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,14\n即+=0.解得b=1∈(2-3,2+3).∴所求的直线方程为y=-x+1.(理)(2012·河南六市联考)已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0),动点Q满足·+||=0.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,只要该圆的切线与切点Q的轨迹C有两个不同交点M,N,就一定有·=0?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由x2=4y得y=x2,∴y′=x,∴直线l的斜率为y′|x=2=1,故l的方程为:y-1=1(x-2),即y=x-1,∴点A坐标为(1,0),设Q(x,y),则=(1,0),=(x-2,y),=(x-1,y),由·+||=0得,x-2+0+=0,化简整理得+y2=1,故动点Q的轨迹C的方程为:+y2=1.(2)假设存在这样的圆,其方程为x2+y2=r2(r>0).(ⅰ)当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=kx+m代入+y2=1,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,判别式Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,∴m2<1+2k2,①设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,②x1x2=,③14\n由·=0,可得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,④将②③代入④得-+m2=0,m2=(1+k2),⑤显然满足①式由直线MN:y=kx+m与圆x2+y2=r2相切知:r=,∴r==,即存在圆x2+y2=满足题意.(ⅱ)当直线MN的斜率不存在时,可得x1=x2=或x1=x2=-,y1=-y2=,满足·=0,综上所述:存在圆x2+y2=满足题意.1.设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为(  )A.4B.C.D.5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上,顶点A1(-3,0),A2(3,0),焦点F1(-5,0),F2(5,0),A1F1的垂直平分线x=-4,代入双曲线方程中得,y=±,∴圆心到双曲线中心距离为d==,A1F2的中垂线x=1与双曲线无交点,故选B.2.(2011·太原模拟)圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是(  )A.k∈(-,)B.k∈(-∞,-)∪(,+∞)C.k∈(-,)14\nD.k∈(-∞,-)∪(,+∞)[答案] C[解析] 由圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点得圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离大于半径1,即>1,由此解得-<k<,因此选C.3.已知不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则k的取值范围是(  )A.B.C.D.[答案] A[解析] 画出可行域如图,直线y=kx-3k过定点(3,0),由数形结合知该直线的斜率的最大值为k=0,最小值为k==-.4.(2012·广州市综合测试)已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1,直线l2的方程为ax+by+r2=0,那么(  )A.l1∥l2,且l2与圆O相离B.l1⊥l2,且l2与圆O相切C.l1∥l2,且l2与圆O相交D.l1⊥l2,且l2与圆O相离[答案] A[解析] 先求出l1的斜率k=-=-,显然l1∥l2;14\n∵a2+b2<r2,∴d=>r,所以直线l2与圆O相离.14

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文章作者:U-336598

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