高考数学总复习 8-7圆锥曲线的综合问题 理 新人教B版
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8-7圆锥曲线的综合问题(理)基础巩固强化1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆+=1的离心率为e,点(1,e)是圆x2+y2-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( )A.3x+2y-4=0 B.4x+6y-7=0C.3x-2y-2=0D.4x-6y-1=0[答案] B[解析] 依题意得e=,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,)的连线的斜率为=,则所求直线的斜率等于-,所以所求直线方程是y-=-(x-1),即4x+6y-7=0,选B.2.(2012·大连部分中学联考)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的标准方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2[答案] B[解析] 令A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线的焦点F(,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px=2p(y+)=2py+p2,所以y2-2py-p2=0,所以=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1,故选B.3.(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( )A.-2B.-C.1D.0[答案] A[解析] 由已知得A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=4x2-x-5.令f(x)=4x2-x-5,则f(x)在x≥1上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取最小值,即·取最小值,最小值为-2.12\n4.(2011·大纲全国理,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A、B两点,则cos∠AFB=( )A.B.C.-D.-[答案] D[解析] 方法一:联立解得或不妨设A在x轴上方,∴A(4,4),B(1,-2),∵F点坐标为(1,0),∴=(3,4),=(0,-2),cos∠AFB===-.方法二:同上求得A(4,4),B(1,-2),|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,由余弦定理知,cos∠AFB==-.5.设F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,点A是抛物线C1与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.[答案] D[解析] 由题意可知,抛物线C1的焦点为F(,0),因为AF⊥x轴,则A(,±p),不妨取A(,p),则双曲线C2的渐近线的斜率为=,∴=2,∴=4,∴e2=5,∴e=.6.(2011·海南一模)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM、BM与两坐标轴均不平行,kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率,则kAM·kBM12\n=( )A.-B.-C.-D.-[答案] B[解析] 解法一(直接法):设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),kAM·kBM=·===-.解法二(特殊值法):因为四个选项为确定值,取A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可得kAM·kBM=-.7.(2012·安徽文,14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.[答案] [解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系.解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可知x1+1=3,x1=2,∴A(2,2),则直线AF斜率为k==2,所以AB方程为y=2(x-1),由联立消去y得,2x2-5x+2=0,解之得x1=2,x2=,∴B(,-),所以|BF|=x2+1=+1=.解法2:如图,l为抛物线的准线,12\nAA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,BM⊥AA1于M,交FO于N,则由△BFN△BAM得,=,∴|BF|=.8.设直线l:y=2x+2,若l与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为-1的点P的个数为________.[答案] 3[解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y=2x+b,代入x2+=1中消去y得,8x2+4bx+b2-4=0,由Δ=16b2-32(b2-4)=0得,b=±2,显见y=2x+2与两轴交点为椭圆的两顶点A(-1,0),B(0,2),∵直线y=2x+2与l距离d=,∴欲使S△ABP=|AB|·h=h=-1,须使h=,∵d=h,∴直线y=2x+2与椭圆切点,及y=2x+4-2与椭圆交点均满足,∴这样的点P有3个.9.已知F是椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为时,此椭圆的离心率是________.[答案] [解析] 解法1:设直线PF与圆x2+y2=b2的切点为M,则依题意得OM⊥MF,∵直线PF的倾斜角为,12\n∴∠OFP=,∴sin==,椭圆的离心率e=====.解法2:依题意可知PF:y=-(x+c)(c=),又O到PF的距离为b,即=b,∴=b2=a2-c2,∴4a2=7c2,∴e==.10.(2012·昆明一中测试)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB,并说明理由.[解析] (1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y=-的距离,∴1+=2,∴p=2,∴抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1),直线l的方程y=2x+1,设点A、B、M的坐标分别为(x1,)、(x2,)、(x0,),由方程组消去y得,x2=4(2x+1),即x2-8x-4=0,由韦达定理得x1+x2=8,x1x2=-4.∵MA⊥MB,∴·=0,12\n∴(x1-x0)(x2-x0)+(-)(-)=0,∴(x1-x0)(x2-x0)+(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=0.∵M不与A,B重合,∴(x1-x0)(x2-x0)≠0,∴1+(x1+x0)(x2+x0)=0,x1x2+(x1+x2)x0+x+16=0,∴x+8x0+12=0,∵Δ=64-48>0.∴方程x+8x0+12=0有解,即抛物线C上存在一点M,使得MA⊥MB.能力拓展提升11.(2011·新课标全国文,9)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.48[答案] C[解析] 设抛物线为y2=2px,则焦点F,准线x=-,由|AB|=2p=12,知p=6,所以F到准线距离为6,所以三角形面积为S=×12×6=36.12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,P为右支上一点,点Q满足=λ1(λ1>0)且||=2a,=λ2,·=0,则|OT|的值为( )A.4aB.2aC.aD.[答案] C[解析] 由题知Q、F1、P三点共线,F2、T、Q三点共线.∵|PF1|-|PF2|=2a=|F1Q|,∴|PQ|=|PF2|,又PT⊥QF2,∴T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点,连接OT,则OT为△F1QF2的中位线,所以|OT|=a.13.(2011·海南五校联考)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且|NF|=|MN|,则∠NMF=________.[答案] 30°[解析] 作NH垂直于准线于H,由抛物线的定义得|NH|=|NF|,12\n∴===sin∠HMN,得∠HMN=60°,∴∠NMF=90°-60°=30°.14.(2012·山东苍山县期末)已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________.[答案] -=1[解析] 在⊙C方程中,令x=0得y2-4y+8=0无解,令y=0得x2-6x+8=0,∴x=2或4,故双曲线方程中a=2,c=4,∴b2=c2-a2=12,∴双曲线的标准方程为-=1.15.(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆+=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.[解析] (1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知得消去y得,2x2+9x-18=0,∴x=或x=-6,由于y>0,只能x=,于是y=,所以点P的坐标是(,).(2)直线AP的方程是x-y+6=0.设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是,于是=|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.∵椭圆上的点(x,y)到点M的距离是d,∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x212\n=(x-)2+15,由于-6≤x≤6,所以当x=时d取最小值.16.(2012·吉林省实验中学模拟)如图所示,在△DEM中,⊥,=(0,-8),N在y轴上,且=(+),点E在x轴上移动.(1)求点M的轨迹方程;(2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l1、l2,l1与点M的轨迹交于点A、B,l2与点M的轨迹交于点C、Q,求·的最小值.[解析] (1)设M(x,y),E(a,0),由条件知D(0,-8),∵N在y轴上且N为EM的中点,∴x=-a,∵⊥,∴·=(-a,-8)·(x-a,y)=-a(x-a)-8y=2x2-8y=0,∴x2=4y(x≠0),∴点M的轨迹方程为x2=4y(x≠0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),Q(x4,y4),直线l1:y=kx+1(k≠0),则直线l2:y=-x+1,由消去y得,x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4,由消去y得,x2+x-4=0,∴x3+x4=-,x3x4=-4.∵A、B在直线l1上,∴y1=kx1+1,y2=kx2+1,12\n∵C、Q在直线l2上,∴y3=-x3+1,y4=-x4+1.∴·=(x3-x1,y3-y1)·(x2-x4,y2-y4)=(x3-x1)(x2-x4)+(y3-y1)·(y2-y4)=(x3-x1)(x2-x4)+(-x3-kx1)(kx2+x4)=x3x2-x1x2-x3x4+x1x4-x2x3-k2x1x2-x3x4-x1x4=(-1-k2)x1x2+(-1-)x3x4=4(1+k2)+4(1+)=8+4(k2+)≥16等号在k2=时取得,即k=±1时成立.∴·的最小值为16.1.(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是( )A.(4,+∞)B.(-∞,4]C.(10,+∞)D.(-∞,10][答案] D[解析] 过点A(0,-2)作曲线C:y=2x2的切线,设方程为y=kx-2,代入y=2x2得,2x2-kx+2=0,令Δ=k2-16=0得k=±4,当k=4时,切线为l,∵B点在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为M(3,10),当点B(3,a)满足a≤10时,视线不被曲线C挡住,故选D.12\n2.(2011·海南五校联考)如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( )A.+1B.-1C.D.[答案] A[解析] 设正六边形的边长为1,则AE=,ED=1,AD=2,∴2a=AE-ED=-1,2c=AD=2,∴e===+1.3.已知椭圆+=1(a>b>0)、双曲线-=1和抛物线y2=2px(p>0)的离心率分别为e1、e2、e3,则( )A.e1e2>e3B.e1e2=e3C.e1e2<e3D.e1e2≥e3[答案] C[解析] 对于椭圆c=,∴e1=,对于双曲线c=,∴e2=12\n,∴e1e2==,∵a>b>0,∴0<4<1,∴e1e2<1=e3.4.已知以F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为( )A.3B.2C.2D.4[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程得,4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,∴Δ=(8b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3,长轴长为2=2,故选C.5.已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)[答案] C[解析] ∵渐近线l1:y=x与过焦点F的直线l平行,或渐近线l112\n从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.∴≥,即c2=a2+b2≥4a2,∴e≥2,故选C.6.已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,左、右焦点为F1、F2,直线AF2与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆内存在动点P,使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列(O为坐标原点),求·的取值范围.[解析] (1)圆M:x2+y2-6x-2y+7=0化为(x-3)2+(y-1)2=3,则圆M的圆心为M(3,1),半径r=.由A(0,1),F2(c,0),(c=),得直线AF2:+y=1,即x+cy-c=0,由直线AF2与圆M相切,得=,解得c=或c=-(舍去).则a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为:+y2=1.(2)由(1)知F1(-,0)、F2(,0),设P(x,y),由题意知|PO|2=|PF1|·|PF2|,即()2=·,化简得:x2-y2=1,则x2=y2+1≥1.因为点P在椭圆内,故+y2<1,即+x2-1<1,∴x2<,∴1≤x2<,又·=x2-2+y2=2x2-3,∴-1≤·<0.12
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