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高考数学总复习 第二章 第4课时 函数的奇偶性与周期性课时闯关(含解析) 新人教版

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2013年高考数学总复习第二章第4课时函数的奇偶性与周期性课时闯关(含解析)新人教版一、选择题1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(  )A.y=-log2x(x>0)   B.y=x3+x(x∈R)C.y=3x(x∈R)D.y=-(x∈R,x≠0)答案:B2.(2011·高考上海卷)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(  )A.y=x-2       B.y=x-1C.y=x2D.y=x解析:选A.∵y=x-1和y=x都是奇函数,故B、D错误.又y=x2虽为偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故C错误.y=x-2=在(0,+∞)上为减函数,且为偶函数,故A满足题意.3.对于定义在R上的任何奇函数,均有(  )A.f(x)·f(-x)≤0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)>0D.f(x)-f(-x)>0解析:选A.∵f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0.4.(2011·高考广东卷)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(  )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数解析:选A.由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数.5.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是(  )A.y=x2+1B.y=|x|+1C.y=D.y=解析:选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(-2,0)上为减函数.又y=在(-2,0)上为增函数.故选C.二、填空题6.(2010·高考江苏卷)设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为________.3\n解析:因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案:-17.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=________.解析:∵f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=+1,∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(+1),即x<0时,f(x)=-(+1)=--1.答案:--18.(2012·大连质检)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)·f(x)=-1,f(-1)=2,则f(2011)=________.解析:由已知f(x+3)=-,∴f(x+6)=-=f(x),∴f(x)的周期为6.∴f(2011)=f(335×6+1)=f(1)=-f(-1)=-2.答案:-2三、解答题9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+;(2)f(x)=解:(1)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0.∴f(-1)=f(1)且f(-1)=-f(1),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)①当x=0时,-x=0,f(x)=f(0)=0,f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).②当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x).③当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).由①②③可知,当x∈R时,都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.10.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(图略)知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].11.(探究选做)定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y).②当x>0时,f(x)<0.3\n(1)求证:f(0)=0;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断函数f(x)的单调性.解:(1)证明:依题意,令x=0,y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0).即2f(0)=f(0),∴f(0)=0.(2)∵f(x)的定义域为R,∴令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0.∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(3)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).∵当x>0时,f(x)<0,而x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴f(x)是R上的减函数.3

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发布时间:2022-08-25 21:39:17 页数:3
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文章作者:U-336598

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