（广东专用）2023高考数学总复习 第四章第二节 课时跟踪训练 理

课时知能训练一、选择题1．(2012·湛江模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)A．(－2,7)　　　　　　　B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)【解析】　＝2＝2(－)＝2(－3,2)＝(－6,4)，＝3＝3(＋)＝3(－2,7)＝(－6,21)．【答案】　B2．(2011·上海高考)设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为(　　)A．0B．1C．5D．10【解析】　设M(x，y)，Ai(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5)，由＋＋＋＋＝0，∴(x1＋x2＋…＋x5－5x，y1＋y2＋…＋y5－5y)＝(0,0)，∴x＝，y＝，∵Ai为定点，∴x，y为定值，因此点M的个数为1.【答案】　B3．△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，且＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)A.B.C.D．1【解析】　如图所示，由B、M、C共线，4\n∴＝x＋(1－x)，又N为AM的中点，∴＝＝＋，由平面向量的基本定理，∴λ＝且μ＝，故λ＋μ＝.【答案】　A4．若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中x∈R，则|a－b|＝(　　)A．2B．2或2C．－2或0D．2或10【解析】　因为向量a，b平行，所以x(2x＋3)＋x＝0，解得x＝0或x＝－2，当x＝0时，a＝(1,0)和b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，所以|a－b|＝2；当x＝－2时a＝(1，－2)和b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，所以|a－b|＝2.【答案】　B5．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)A．|a|＝|b|　　　　　　　　B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b【解析】　易知|a|＝1，|b|＝＝.∵a·b＝1×＋0×＝，∴a·b≠，B不正确．∵a－b＝(1,0)－(，)＝(，－)，∴(a－b)·b＝(，－)·(，)＝0，C正确．∵1×－0×≠0，∴a不平行于b.D不正确．【答案】　C二、填空题6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．【解析】　设B(x,0)，则b＝＝(x－1，－2)，又b∥a，∴3(x－1)－(－2)×(－2)＝0，∴x＝.4\n【答案】　(，0)7．已知向量＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，则向量的模的最大值是________．【解析】　＝＋＝(2＋cosα，2＋sinα)，∴||2＝(2＋cosα)2＋(2＋sinα)2＝10＋8sin(α＋)≤18，故||≤3.【答案】　38．(2012·梅州调研)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.【解析】　∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)，又c＝(－1,2)，且(a＋b)∥c，∴2＋m－1＝0，∴m＝－1.【答案】　－1三、解答题9．设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy轴正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．【解】　＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i＋(－2)j，因为A，B，C共线，所以与共线，所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)．①又m＝2n，②解①②组成的方程组得10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t(t∈R)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在第二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．【解】　(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴＝(1,2)，＝(3,3)，＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．4\n若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；若P在第二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－.(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则＝，所以四边形OABP不可能为平行四边形．11．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．【解】　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1.于是sin(2θ＋)＝－.又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝π.4