【中考12年】广东省深圳市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题11 圆

2022-2022年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1.（2022广东深圳3分）已知两圆的半径分别是3厘米和4厘米，它们的圆心距是5厘米，则这两圆的位置关系是【】(A)外离(B)外切(C)内切(D)相交【答案】D。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，　　　　∵4－3＝1＜5，4＋3＞5，∴这两圆的位置关系是相交。故选D。2.（2022广东深圳3分）已知：如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，C、D是⊙O上的点，弦切角∠CBE=40o，，则∠BCD的度数是【】(A)110o(B)115o(C)120o(D)135o【答案】B。【考点】切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，圆内接四边形的性质。【分析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，∴EF⊥AB，即∠ABE＝900。∵弦切角∠CBE＝40o，∴∠ABC＝50o。14\n∵，∴∠ABD＝∠DBC＝25o。又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90o。∴∠BAD＝65o。∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD＝180o－65o＝115o。故选B。　3.（深圳2022年5分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是【】A、△AED∽△BECB、∠AEB=90ºC、∠BDA=45ºD、图中全等的三角形共有2对【答案】D。【考点】圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等的三角形的判定。【分析】A、根据圆周角定理的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED，正确；B、由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD，有，从而根据等弧所对圆周角相等的性质，得∠EBC=∠ECB，由等腰三角形等角对等边的性质，得BE=CE，∴BE=CE=3，AB=5，AE=AC－CE=4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；C、AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；D、从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3对，错误。故选D。4.（深圳2022年3分）已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则这两圆的位置关系是【】A、相交B、相切C、内含D、外离【答案】D。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。∵⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则3+4=7＜8，∴两圆外离。故选D。5.（深圳2022年3分）如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点M，AB=8cm，M是AB的中点，CM：MD=1：4，则CD=【】14\nA、12cmB、10cmC、8cmD、5cm【答案】B。【考点】相交弦定理。【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：∵CM：DM=1：4，∴DM=4CM。又AB=8，M是AB的中点，∴MA=MB=4。由相交弦定理得：MA•MB=MC•MD，即4·4=MC•4MC，解得MC=2。∴CD=MC+MD=MC+4MC=10。故选B。6.（深圳2022年3分）圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切圆于C，若∠BCD=120º，则∠BCE=【】A、30ºB、40ºC、45ºD、60º【答案】A。【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，弦切角定理。【分析】由弦切角定理可得：∠BCE=∠BAC；因此欲求∠BCE，必先求出∠BAC的度数．已知∠BCD=120°，由圆内接四边形的对角互补，可得出∠BAD=60°，而AC平分∠BAD，即可求出∠BAC的度数。∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°。∴∠BAD=180°－120°=60°。∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠BAD=30°。∵EF切⊙O于C，∴∠BCE=∠BAC=30°。故选A。14\n7.（深圳2022年3分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是【】A、B、C、D、8.（深圳2022年3分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为【】A.cm2B.cm2C.cm2D.cm214\n【答案】B。【考点】平行的性质，圆的对称性，角平分线的定义，圆周角定理，勾股定理。【分析】要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积公式计算：由AD//BC和圆的对称性，知。∵AC平分∠BCD，∴。∴AD=AB=DC。又∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，∴∠ACD=∠DAC=30°。∴∠BAC=90°，∠B=60°。∴BC是圆的直径，且BC=2AB。∴根据四边形ABCD的周长为10cm可解得圆的半径是2cm。由勾股定理可求得梯形的高为cm。所以阴影部分的面积=（半圆面积－梯形面积）=（cm2）。故选B。9.（2022广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【】A．6B．5C．3D。【答案】C。【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长==3。故选C。二、填空题1.（2022广东深圳3分）如图,⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC=▲。14\n【答案】6cm。【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理。【分析】∵点D平分，∴OD是BC的中垂线，即BC=CE，OD⊥BC。∵的直径AB=10cm，DE=2cm，∴OB=OD=5cm，OE=3cm。∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC。∴OE是△ABC的中位线。∴AC=2OE=6cm。2.（深圳2022年招生3分）下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A（2,1)，则图中两个阴影部分面积的和是▲【答案】。【考点】圆和双曲线的中心对称性，圆的切线的性质。【分析】由题意，根据圆和双曲线的中心对称性，知图中两个阴影部分面积的和是圆的面积；由两个圆与x轴相切和点A（2,1)，知圆的半径为1，面积为，因此图中两个阴影部分面积的和是。2.（深圳2022年3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120º，弦AB=cm，则OA=▲cm.【答案】2。【考点】三角形内角和定理，垂径定理，特殊角三角函数值。【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º，∴∠OAB=30º。又∵∠ADO=90º，AD=，14\n∴OA=。三、解答题1.（深圳2022年10分）阅读材料，解答问题命题：如图，在锐角△ABC中，BC=a、CA=b、AB=c，△ABC的外接圆半径为R，则。证明：连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90º。在Rt△DBC中，∵，∴sinA=，即。同理、。∴请你阅读前面所给的命题及证明后，完成下面（1）、（2）两小题BCAO·BCAbO·（1）前面的阅读材料中略去了“和”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来。（1）（2）（2）直接用前面阅读材料中命题的结论解题已知，如图，在锐角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60º，求△ABC的外接圆的半径R及∠C。14\n【答案】证明：（1）连接CO并延长并⊙O于点D，连接DA，则∠B=∠D。∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°。在Rt△DAC中，sinD=，即sinD=。∴sinB=，即。（2）由命题结论知，∵BC=，CA=，∠A=60º，∴，即。∵△ABC是锐角三角形，∴∠B=45°。∴∠C=75°。由得，∴R=1。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据已知的证明过程，同样可以把∠B和b构造到直角三角形中，构造直径所对的圆周角，是圆中构造直角三角形常用的一种方法，根据锐角三角函数进行证明。（2）根据，代入计算。2.（深圳2022年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结BD，求tan∠BDC的值；（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值。【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，14\n∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得，解得，，∴抛物线的解析式为y=。【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中14\n，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。3.（深圳2022年8分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．【答案】解：（1）证明：连接BO，∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。∴△ABO为等边三角形。∴∠BAO=∠ABO=60°。∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°。∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。又∵BO是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线。（2）∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°。在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴。又∵＝8，∴。【考点】等边三角形的判定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线。（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解。4.（深圳2022年10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B7.两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.14\n（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？【答案】解：（1）⊙P与x轴相切。理由如下：∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8。由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.。在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径。∴⊙P与x轴相切。（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD。当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E。∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=。∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB。∴。∴。∴。∴。∴。当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0，－－8)。∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。14\n【考点】切线的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．（2）根据正三角形的性质，分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线上两种情况讨论即可。5.（深圳2022年招生8分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，(1)(2分）求证：MN是半圆的切线，(2)(3分）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG..(3)(3分）若△DFG的面积为4.5，且DG＝3，GC＝4，试求△BCG的面积．【答案】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝900。∴∠BAC＋∠ABC＝900。又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠BAC＋∠MAC＝900。∴MN⊥AB。∴MN是半圆的切线。（2）∵D是弧AC的中点，∴∠CBD＝∠DBA。∵∠ACB＝900，∴∠DGF＝∠CGB＝900－∠CBD又∵DE⊥AB，∴∠GDF＝900－∠DBA。∴∠DGF＝∠GDF。∴FD＝FG.。（3）过点F作FH⊥DG于点H，则由FD＝FG，DG＝3，△DFG的面积为4.5，得HG=1.5，S△FHG＝。∵∠GCB＝900，FH⊥DG，∴∠GCB＝∠GHF＝900。又∵∠CGB＝∠HGF，∴△BCG＝△FHG。∴∴。14\n【考点】圆切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质。【分析】（1）要证MN是半圆的切线，只要证MN⊥AB即可。由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系，经过等量代换，即可证得∠BAC＋∠MAC＝900，从而得证。（2）由等弧所对圆周角相等的性质，直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质，可证得∠DGF＝∠GDF，由等腰三角形等角对等边的判定，即可得FD＝FG.。（3）过点F作FH⊥DG于点H，由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5，S△FHG＝。由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。6.（深圳2022年8分）如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面积之和.(保留与根号)【答案】解：（1）证明：如图，连接AB、BC，∵点C是劣弧AB上的中点，∴。∴CA＝CB。又∵CD＝CA，∴CB＝CD＝CA。∴在△ABD中，CB=AD。∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。∴AE是⊙O的直径。(2)如图，由（1）可知，AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°。∵⊙O的半径为5，AC＝4，∴AE＝10，⊙O的面积为25π。在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：CE=∴∴14\n【考点】直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，勾股定理。【分析】（1）要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC，由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。(2)求阴影部分面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。14