【南方新中考】（南粤专用）2022中考数学 第二部分 专题突破 专题七 函数与图象检测复习

专题七　函数与图象　　　　　　　　　　　　　　　　⊙热点一：图象信息题1．如图Z76，二次函数y＝－x2－2x的图象与x轴交于点A，O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP＝3，则点P的坐标是(　　)图Z76A．(－3，－3)B．(1，－3)C．(－3，－3)或(－3,1)D．(－3，－3)或(1，－3)2．(2022年广西钦州)如图Z77，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(2,2)，B(－2，－2)两点．当y＝x的函数值大于y＝的函数值时，x的取值范围是(　　)A．x＞2　B．x＜－2C．－2＜x＜0或0＜x＜2　D．－2＜x＜0或x＞2图Z77　　　　图Z783．(2022年山东济南)如图Z78，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是(　　)A．(，3)　　　　B．(，)C．(2,2)　　　　D．(2，4)⊙热点二：代数几何综合题1．(2022年广东)如图Z79，抛物线y＝x2－x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值．此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π)．6\n图Z792．(2022年四川资阳节选)如图Z710，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴的另一交点为E，连接CE，点A，B，D的坐标分别为(－2,0)，(3,0)，(0,4)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M，N分别是直线l和x轴上的动点，连接MN.当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标．图Z710⊙热点三：函数探索开放题(2022年四川雅安)如图Z711(1)，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图Z711(2)，若E是线段AD上的一个动点(E与A，D不重合)，过点E作平行于y轴的直线，交抛物线于点F，交x轴于点G.设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S.①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．6\n(1)　　(2)图Z7116\n专题七　函数与图象【提升·专项训练】热点一1．D　2.D3．A　解析：连接OO′，由直线y＝－x＋2知，OB＝2，OA＝2，故∠BAO＝30°.点O′为点O关于直线AB的对称点，故∠O′AO＝60°，即△AOO′是等边三角形．点O′的横坐标是OA长度的一半，即为，纵坐标则是△AOO′的高，即为3.故选A.热点二1．解：(1)当y＝0时，x2－x－9＝0.图102解得x1＝6，x2＝－3.∴点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为(6,0)．∴AB＝6－(－3)＝9.∵当x＝0时，y＝－9，∴点C的坐标为(0，－9)．∴OC＝|－9|＝9.(2)∵l∥BC，∴△ADE∽△ACB.∴＝2.∵S△ACB＝AB·OC＝×9×9＝，∴S△ADE＝2×＝m2.∴s＝m2(0<m<9)．(3)∵S△AEC＝AE·OC＝m×9＝m，∴S△CDE＝S△AEC－S△ADE＝m－m2＝－2＋.∵0<m<9，∴当m＝时，S△CDE取得最大值，最大值为.解法一，此时，BE＝AB－AE＝9－＝.如图102，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC.设⊙E的半径为r.在Rt△BOC中，BC＝＝＝.∵∠CBO＝∠EBM，∠COB＝∠EMB＝90°，6\n∴△BOC∽△BME.∴＝.∴＝.∴r＝.∴⊙E的面积为：π2＝π.解法二，此时，BE＝AB－AE＝9－＝.∵BE＝AB，∴S△EBC＝S△ABC＝.记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r.在Rt△BOC中，BC＝＝＝.∵S△EBC＝BC·EM，∴×r＝.∴r＝.∴⊙E的面积为：π2＝π.2．解：(1)∵点A，B，D的坐标分别为(－2,0)，(3,0)，(0,4)，且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为(5,4)．∵点A，C，D在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，∴解得故抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.(2)如图103，连接BD交对称轴于G，在Rt△OBD中，易求BD＝5.∴CD＝BD，则∠DCB＝∠DBC.图103又∵∠DCB＝∠CBE，∴∠DBC＝∠CBE.过G作GH⊥BC于H，交x轴于N，易证GH＝HN.∴点G与点M重合．故直线BD的解析式为y＝－x＋4.根据抛物线可知，对称轴方程为x＝.则点M的坐标为，即GF＝，BF＝.∴BM＝＝.又∵MN被BC垂直平分，∴BM＝BN＝.∴点N的坐标为.热点三6\n解：(1)由题意，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)∵△PBC的周长为PB＋PC＋BC，∵BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．∵点A，点B关于对称轴l对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点(如图104)．图104∵AP＝BP，∴△PBC的最小周长是PB＋PC＋BC＝AC＋BC.∵A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3)，∴AC＝3，BC＝.故△PBC周长的最小值为3＋.(3)①∵抛物线y＝－x2－2x＋3顶点D的坐标为(－1,4)，A(－3,0)，∴直线AD的解析式为y＝2x＋6.∵点E的横坐标为m，∴E(m,2m＋6)，F(m，－m2－2m＋3)．∴EF＝－m2－2m＋3－(2m＋6)＝－m2－4m－3，AH＝AB＝×4＝2.∴S＝S△DEF＋S△AEF＝EF·GH＋EF·AG＝EF·AH＝(－m2－4m－3)×2＝－m2－4m－3.②存在．∵S＝－m2－4m－3＝－(m＋2)2＋1.∴当m＝－2时，S最大，最大值为1.此时，点E的坐标为(－2,2)．6