专题十 动态问题⊙热点一:点动(2022年山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图Z106①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;(2)如图Z106②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图Z106③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(4)如图Z106④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.① ②③ ④图Z1066\n⊙热点二:线动1.如图Z107,在矩形ABCD中,垂直于对角线BD的直线l,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是( )图Z107A B C D2.(2022年广东)如图Z108,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).图Z108 图Z109(备用图)(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.6\n⊙热点三:面动(2022年江苏连云港)如图Z1010,在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.(1)求证:四边形BFDE为平行四边形;(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.图Z10106\n专题十 动态问题【提升·专项训练】热点一 解:(1)AE⊥DF.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF(SAS).∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.由于∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠APD=90°,即AE⊥DF.(2)是.(3)成立.理由如下:由(1),同理可证∠DAE=∠CDF.如图112,延长FD交AE于点G,则∠CDF+∠ADG=180°-∠ADC=90°.∴∠ADG+∠DAE=90°.∴∠AGD=90°,即AE⊥DF.图112 图113(4)如图113,由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是以AD为直径的圆的一段的弧.设AD的中点为O,连接OC,交弧于点P,此时CP的长度最小.在Rt△ODC中,OC===.∴CP=OC-OP=-1.热点二1.A2.(1)证明:如图114,连接DE,DF,当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点.又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE,AF=DF.∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴∠B=∠C.∵EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.图114 图115(2)解:如图115,由(1)知,EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.∴=,即=.解得EF=10-t.S△PEF=EF·DH=·2t6\n=-t2+10t=-(t-2)2+10.∴当t=2时,S△PEF存在最大值,最大值为10.此时BP=3t=6.(3)解:存在.理由如下:①若点E为直角顶点,如图116①,此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.∵PE∥AD,∴△BPE∽△BDA.∴=,即=.此比例式不成立,故此种情形不存在.②若点F为直角顶点,如图116②,此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.∵PF∥AD,△CPF∽△CDA.∴=,即=.解得t=.① ② ③图116③若点P为直角顶点,如图116③.过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.∵EM∥AD,∴=,即=.解得BM=t.∴PM=BP-BM=3t-t=t.在Rt△EMP中,由勾股定理,得PE2=EM2+PM2=(2t)2+2=t2.∵FN∥AD,∴=,即=.解得CN=t.∴PN=BC-BP-CN=10-3t-t=10-t.在Rt△FNP中,由勾股定理,得PF2=FN2+PN2=(2t)2+2=t2-85t+100.在Rt△PEF中,由勾股定理,得EF2=PE2+PF2,即2=t2+.化简,得t2-35t=0.解得t=或t=0(舍去).综上所述,当t=秒或t=秒时,△PEF为直角三角形.热点三(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD.∴∠ABD=∠CDB.6\n∵由翻折性质,得∠EBD=∠ABD,∠BDF=∠CDB,∴∠EBD=∠BDF.∴BE∥DF.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴DE∥BF.∴四边形BFDE为平行四边形.(2)解:∵四边形BFDE为菱形,∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,∠DBF=30°.∵∠C=90°,∴BD=4.由勾股定理,得BC=2.6