北京市各区2022年中考数学二模试题分类汇编 证明题

证明题西城1．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．求证：AD=BE．2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=．(1)求BD的长；(2)求AD的长．海淀3.已知：如图，在△中，.⊥于点,且，⊥交的延长线于点.求证：.4．如图，ABCD中，为中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点,连接.若,，，求的长及ABCD的周长.东城5.已知：如图，点E，F分别为□ABCD的边BC，AD上的点，且.求证：AE=CF.16\n6．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E.(1）求证：AM=2CM；（2）若，，求的值.朝阳7．已知：如图，E、F为BC上的点，BF=CE，点A、D分别在BC的两侧，且AE∥DF，AE=DF．求证：AB∥CD．8．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠B=105º，E是BC边的中点，∠BAE=30º，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长．第9题图房山9已知：如图，点C、D在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD，AE=BF，.求证：DE=CF.10.如图，四边形中，AB∥CD，AB=13，CD=4，点在边AB上，DE∥．若，且，求四边形的面积.第10题图16\n门头沟11．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F.求证：BC=EF.门头沟12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60º，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE=，，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．怀柔13．已知如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC=DF．证明：13题图14.已知如图：在菱形中，是对角线上的一点．连结并延长，与交于点，与的延长线交于点．若.（1）求的长度；（2）求的长度．解：14题图大兴15.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．16．如图，将□ABCD16\n的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．若ÐAFC=2ÐD，连结AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.丰台17．已知：如图，三点在同一条直线上，，，．ADBCE求证：．DABC18．如图，四边形ABCD中，CD=，，,，求AB的长．石景山DCABFGE19．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE^DG于E，CF∥AE交DG于F．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．证明：20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：．解：ABCDEF昌平21.如图，AC//FE,点F、C在BD上，AC=DF,BC=EF.求证：AB=DE.　　16\n22.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠DAB=∠ABC=90°，BE⊥BD且BE=BD，连接EA并延长交CD的延长线于点F.如果∠AFC=90°，求∠DAC的度数.密云23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB。24．已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）在四边形ABCD中，求的值．顺义25．已知：如图，在中，，，是过点的一条直线，于，于.求证:26．已知：如图，四边形中，对角线、相交于点，,,.16\n求对角线的长和的面积.证明题答案1．证明：∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC.…………………………1分∵∠ECA=∠DCB，∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，即∠ACD=∠BCE.…………………2分在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE.………………………………………………4分∴AD=BE.………………………………………………5分2．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC=，∴.∴CD=.……………………………………1分∴由勾股定理得BD==.………2分(2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E.∵∠BAD=135°，∴∠EAD=∠ADE=45°.∴AE=ED.…………………………………………………………………3分设AE=ED=x，则AD=x.∵DE2+BE2=BD2，_∴x2+(x+2)2=()2.…………………………………………………4分解得x1=3(舍)，x2=1.∴AD=x=.……………………3.证明：∵⊥于点,∴∵,∴∴-------------------------1分16\n∵⊥于点,∴∴.在△和△中，∴△≌△.-------------------------4分∴.-------------------------5分4．解：∵四边形是平行四边形，∴，∥,．∵HG⊥于点，∴．在△中，，，，∴．-------------------------1分∵为中点，，∴．∵，∴△≌△．∴．-------------------------3分在△中，，，，∴．-------------------------4分∴．∴．∴的周长为30．-------------------------5分5.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D.…………………………2分在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF.…………………………4分　∴AE=CF.………………………………5分16\n6．解：（1）∵四边形ABCD是菱形．∴BC//AD.∴.∴.∵F为边BC的中点，∴.∴.∴.……………………2分（2）∵AB//DC，∴.∵,∴.∵ME⊥CD，∴.∵四边形ABCD是菱形，∴.∵F为边BC的中点，∴..在△CMF和△CME中，，CF=CE，CM为公共边，∴△CMF≌△CME．∴.∵,∴.16\n∴.∵,∴.∴.……………………………5分7.证明：∵AE∥DF，∴∠AEB＝∠DFC.………………………………………………………………1分∵BF=CE，∴BF+EF＝CE+EF.即BE＝CF.………………………………………………………………………2分在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF.………………………………………………………………3分∴∠B=∠C.………………………………………………………………………4分∴AB∥CD.………………………………………………………………………5分8．解：作BG⊥AE，垂足为点G，∴∠BGA＝∠BGE＝90º.在平行四边形ABCD中，AD=4，∵E是BC边的中点，∴……………………………………………………1分∵∠BAE=30º，∠ABC=105º，∴∠BEG=45º.由已知得△ABE≌△AFE.∴AB=AF，BE＝FE，∠BEF=90º.在Rt△BGE中，BG＝GE=………………………………………………………………………2分在Rt△ABG中，∴AB=AF=………………………………………………………………………3分在Rt△ECF中，………………………………………………………4分∴四边形ABCF的周长……………………………………………………5分16\n9．证明：∵AC=BD,∴AD=BC.-----------------------------------------1分∵，AE=BF------------------------------------3分∴△ADE≌△BCF.------------------------------------4分∴DE=CF.------------------------------5分10.解：过点C作于点.-------1分∵AB∥CD，DE∥∴四边形BCDE为平行四边形------------2分∴BE=CD∵CD=4，∴BE=4.∵，∴BF=2--------------------------------3分在Rt△BCF中，，∴.---------------------------------4分∴四边形ABCD的面积==39----------------------5分11．证明：∵，，∴．………………………………………………1分∴．又∵，∴．∴．………………………2分在和中，∴．……………………4分∴．………………………………5分12．解：如图，过点D作DF⊥AC于F．∵∠DAB=60º，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=30°．∵，∴∠AFD=∠ACB=90°．∴，………………………………………………………1分BC=CE==4．…………………………………………2分16\n∴．．…………………………………3分∴．…………………………………………4分∴…………………………………………………………………………………5分13．证明：∵AB∥DE∴∠B＝∠DEF．…………………………1分在△ABC和△DEF中，……………………………………3分∴△ABC≌△DEF．…………………………………4分∴AC=DF.…………………………………………5分14.解：（1）过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T.∵ABCD是菱形，∠DCB=60°∴AB=AD=4，∠ABT=60°∴AT=ABsin60°=…1分TB=ABcos60°=2∵BS=10∴TS=TB+BS=12，∴AS=……………………2分(2)∵AD∥BS∴△AOD∽△SOB……………………3分∴则∴∵AS=16\n∴……………………4分同理可得△ARD∽△SRC∴则∴∴∴OR=OS-RS=15.答：BE=EC，BE⊥EC.………………………………………1分证明：∵AC=2AB，点D是AC的中点∴AB=AD=CD∵∠EAD=∠EDA=45°∴∠EAB=∠EDC=135°∵EA=ED∴△EAB≌△EDC…………………………………………3分∴∠AEB=∠DEC，EB=EC………………………………4分∴∠BEC=∠AED=90°………………………………5分∴BE=EC，BE⊥EC16.证明：解法一：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．……………………1分∴AF=EF，BF=CF．………………………2分∵∠ABC=∠D，∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠D=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．………………………………………3分∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC．………………………………………4分∴□ABEC是矩形．………………………………………5分解法二：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．………………………1分16\n∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．………………………………………2分又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．…………………3分又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．……4分∴□ABEC是矩形．…………………………5分17证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠E.--------------1分在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，--------------4分AC＝CE，∴△ABC≌△CDE.--------------5分18.解：过点D作DE⊥AC于E,过点A作AF⊥BC于F.DABCFE∵∠ACB=45°，∠BCD=90°，∴∠ACD=45°.∵CD=，∴DE=EC=1.-----------------1分∵∠CAD=30°，∴AE=.----------------2分∴AC=.----------------3分∴FA=FC=.-------------------------------4分∵∠ABF=60°,∴.------------------------5分19略20.解：由∠EFB＝120°，AF平分∠EFB，16\n∴∠EFO=60°,∠EOF=90°………………………………………………..1分∴FE=FB………………………………………………..2分Rt△EOF中,∴OE…………………………………………………..3分Rt△EOA中,∴AE……………………………..4分在△和△中∴△≌△∴AB=AE……………………………………..5分ABCDEF21．证明：∵AC//EF，　∴．……………1分在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．……………………………………4分∴AB=DE．……………………………………………5分22．解：∵∠DAB=∠ABC=90°，∴∠DAB+∠ABC=180°,∠3+∠FAD=90°.∴AD∥BC..∴∠ADF=∠BCF．……………1分∵∠AFC=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°.∴∠3=∠ADF=∠BCF.①……2分∵BE⊥BD,∴∠EBD=90°.∴∠1=∠2.②…………………………………………3分∵BE=BD，③∴△ABE≌△CBD.………………………………………4分∴AB=BC.∴∠BAC=∠ACB=45°.∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=45°.………………23．∵AD平分∠BAC，16\n∴∠BAD=∠CAD.…………………2分又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD.…………………3分∴BD=CD.…………………4分∴∠DBC=∠DCB.…………………5分24．（1）证明：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=OB，………………1分∵四边形DEBF是菱形，∴DE=BE，………………2分∴EO⊥BD，∴∠DOE=90°，即∠DAE=90°，又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．………………3分（2）∵四边形DEBF是菱形，∴∠FDB=∠EDB，又由题意知∠EDB=∠EDA，由（1）知四边形ABCD是矩形，∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，则∠ADB=60°，∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：，又BC=AD，则．………………5分25．证明：∵∴……………………………………………1分∵∴∴在和中∵……………………………………………3分∴≌……………………………………………4分∴……………………………………………5分26．解：过点作于∵,，16\n∴…………………1分∴∥∴……………………2分∴即∴∴……………………………3分∴∴……………………………………4分(2)……………5分16