河北省2022年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章函数及其图像第4节反比例函数的图像及性质精讲试题

第四节　反比例函数的图像及性质河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202215反比例函数的图像反比例函数的图像与二次函数图像综合应用22202226(1)反比例函数的表达式的确定在压轴综合题中以反比例函数、二次函数为背景综合考查33202210实际问题中反比例函数图像的判断以印刷书本考查二次函数的图象33202214反比例函数的图像及性质新定义分段函数，由所给数值判断满足所得表达式的函数图像33202210反比例函数的图像及性质以判断所给结论是否正确的设问形式考查反比例函数的图像及性质33命题规律反比例函数在中考中一般设置1道题，分值为2～3分，主要在选择题、填空题或解答题中考查，纵观近5年河北中考试题可以看出，一般有如下类型：(1)反比例函数表达式的确定，在解答题中考查了1次；(2)反比例函数图像的分析与判断，在选择题中考查了2次；(3)反比例函数图像与性质，在选择题中考查了2次.河北五年中考真题及模拟　反比例函数的图像及性质1．(2022河北中考)一台印刷机每年印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图像大致是(　C　),A),B),C),D)2．(2022河北中考)定义新运算：a⊕b＝例如：4⊕5＝，4⊕(－5)＝.则函数y＝2⊕x(x≠0)的图像大致是(　D　),A)　,B)　,C)　,D)7\n3．(2022河北中考)反比例函数y＝的图像如图所示，以下结论：①常数m＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h＜k；④若P(x，y)在图像上，则P′(－x，－y)也在图像上．其中正确的是(　C　)A．①②B．②③C．③④D．①④4．(2022沧州中考模拟)在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图像大致是(　A　),A),B),C),D)5．(2022石家庄二十八中模拟)反比例函数y＝的图像在(　B　)A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限6．(2022沧州八中模拟)下列说法中不正确的是(　D　)A．函数y＝2x的图像经过原点B．函数y＝的图像位于第一、三象限C．函数y＝3x－1的图像不经过第二象限D．函数y＝－的值随x的值的增大而增大7．(2022保定中考模拟)在反比例函数y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝mx2＋mx的图像大致是(　A　),A),B),C),D)8．(2022衡阳四中模拟)如图，函数y＝－x的图像是二、四象限的角平分线，将y＝－x的图像以点O为中心旋转90°与函数y＝的图像交于点A，再将y＝－x的图像向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为__(2，0)__．(第8题图)　　　(第9题图)9．(2022唐山九中模拟)如图，点A是反比例函数y＝图像上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，C，矩形ABOC的面积为4，则k＝__－4__．7\n10．(2022衡水中考模拟)如图，已知：点A(0，2)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－2x＋b也随之移动，并与x轴交于点B，设动点P移动时间为ts.(1)当t＝2s时，求直线l的函数表达式；(2)如果点M(a，3)，当OM是Rt△OPB斜边PB上的中线时，在备用图中画出图形，并分别求出t和a的值；(3)直接写出t为何值时，直线l与双曲线y＝(x＞0)有且仅有一个公共点．解：(1)当t＝2，AP＝2×1＝2，∵A(0，2)，∴OA＝2，∴OP＝OA＋AP＝2＋2＝4，∴y＝－2x＋4；(2)由题意可知AP＝t，∴OP＝OA＋AP＝t＋2，∴直线l的表达式为y＝－2x＋t＋2，∴P(0，t＋2)，B，∵OM是Rt△OPB斜边PB上的中线，∴M(a，3)是PB的中点，∴＝2a，t＋2＝3×2，∴t＝4，a＝；(3)t＝－2＋4.,中考考点清单　　　　　　　　　　　　　　　　反比例函数的概念1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成__y＝__(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，k称为比例函数．　反比例函数的图像和性质2．函数图像7\n表达式y＝(k≠0，k为常数)kk＞0k＜0图像3.函数图像的性质函数系数所在象限增减性对称性y＝(k≠0)k＞0第一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y随x的增大而减小关于y＝－x对称k＜0第二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而增大关于y＝x对称4.k的几何意义设P(x，y)是反比例函数y＝图像上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合：(1)反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．　反比例函数表达式的确定5．步骤：(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；(2)根据已知条件列出含k的方程；(3)由代入法求待定系数k的值；(4)把k代入函数表达式y＝中．6．求表达式的两种途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式．　反比例函数的应用7．利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，7\n建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．,中考重难点突破　反比例函数的图像及性质【例1】(1)(黔东南中考)若ab<0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系的大致图像可能是(　B　),A),B),C),D)(2)(安顺中考)如果点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k>0)的图像上，那么y1，y2，y3的大小关系是(　B　)A．y1<y3<y2　　　　B．y2<y1<y3C．y1<y2<y3D．y3<y2<y1【解析】(1)据ab＜0及正比例函数与反比例函数图像的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论，据反比例函数中k＜0判断出函数所在的象限及增减性，再据各点横坐标特点即可得出结论；(2)本题主要考查反比例函数的图像与性质．【答案】(1)B；(2)B1．(2022唐山中考模拟)若点A(a，b)在反比例函数y＝的图像上，则代数式ab－4的值为(　B　)A．0　　　B．－2　　　C．2　　　D．－62．(2022石家庄中考模拟)如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数图像大致是(　A　),A),B),C),D)3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x－1与函数y＝的图像可能是(　C　)7\n,A),B),C),D)　反比例函数k的几何意义【例2】(铁岭中考)如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为点D，C.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为(　B　)A．12B．10C．8D．6【解析】主要从矩形ABCD的面积与双曲线中k的关系考查．【答案】A4．(2022烟台中考)如图，点A的坐标是(2，0)，△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y＝的图像经过点B，则k的值是(　C　)A．1B．2C.D．2(第4题图)　　　(第5题图)5．(2022河南中考)如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝(x＞0)的图像上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，取线段OB的中点C，连接PC并延长交x轴于点D，则△APD的面积为__6__．　反比例函数与一次函数结合【例3】(河北中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．7\n(1)求反比例函数的表达式；(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像一定过点C；(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．(不必写出过程)【解析】(1)点B(3，1)，C(3，3)得BC⊥x轴，BC＝2，据平行四边形性质得AD＝BC＝2，而A点坐标为(1，0)，可得D(1，2)．即易得解；(2)把x＝3代入y＝kx＋3－3k，得y＝3即可说明；(3)设P点横坐标为a，由于一次函数过点C且y随x的增大而增大时，P点纵坐标要小于3，横坐标要小于3，故由y＝＜3得a＞.【答案】解：(1)y＝；(2)当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3.∴一次函数的图像一定过点C；(3)设点P的横坐标为a，则＜a＜3.6．(郴州中考)如图，已知点A(1，2)是正比例函数y1＝kx(k≠0)与反比例函数y2＝(m≠0)的一个交点．(1)求正比例函数及反比例函数的表达式；(2)根据图像直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1<y2?解：(1)将A(1，2)代入正比例函数y1＝kx得，k＝2，∴y1＝2x；将A(1，2)代入反比例函数y2＝得，m＝2，∴y2＝；(2)0<x<1.7．(济宁中考)在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点，过点F的反比例函数y＝(k>0)的图像与AC边交于点E.(1)请用k表示点E，F的坐标；(2)若△OEF的面积为9，求反比例函数的表达式．解：(1)∵E，F是反比例函数y＝(k>0)图像上的点，且OB＝6，OA＝4，∴点E坐标为，点F坐标为；(2)由题意知：S△ECF＝EC×CF＝，∴S△EOF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△BOF－S△ECF＝24－k－k－＝9.∴12－＝9，解得k＝±12(负值舍去)．∴反比例函数的表达式为y＝.7