第六节 二次函数的实际应用1.(河北中考)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=x2(x>0).若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为( C )A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s2.一个小球被抛出后,距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数关系式:h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是( C )A.1mB.5mC.6mD.7m3.凸四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,且AC+BD=20.则当AC=__10__时,此四边形面积有最大值为__50__.4.(2022沧州九中模拟)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为m.(1)求该抛物线的关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?解:(1)y=-x2+2x+4.∴当x=-=6时,y最大=10,即拱顶D到地面OA的距离为10m;(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),当x=2或x=10时,y=>6,∴能安全通过;(3)令y=8,即-x2+2x+4=8,可得x2-12x+24=0,解得x1=6+2,x2=6-2,x1-x2=4.答:两排灯的水平距离最小是4m.5.(鄂州中考)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y(kg)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;4\n(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得解得∴y=-2x+200(30≤x≤60);(2)由题意,得W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450,∴所求函数的关系式为W=-2x2+260x-6450(30≤x≤60);(3)W=-2(x-65)2+2000.∵-2<0,对称轴为直线x=65,∴当30≤x≤60时,W随x的增大而增大.∴当x=60时,W有最大值为1950,∴当销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大利润为1950元.6.(2022达州中考)宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:y=(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图像如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?解:(1)根据题意,得:∵若7.5x=70,得:x=>4,不符合题意:∴5x+10=70,解得x=12.答:工人甲第12天生产的产品数量为70件;(2)由函数图像知,当0≤x≤4时,P=40,当4<x≤14时,设P=kx+b,由题意,得解得∴P=x+36;①当0≤x≤4时,W=(60-40)·7.5x=150x,∵w随x的增大而增大,∴当x=4时,w最大=600元;②当4<x≤14时,W=(60-x-36)(5x+10)=-5x2+110x+240=-5(x-11)2+845,∴当x=11时,w最大=845,∵845>600,∴当x=11时,W取得最大值为845元,∴w=答:第11天时,利润最大,最大利润是845元.4\n7.(河北中考)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间.每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例.每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长(cm)2030出厂价(元/张)5070(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润是26元.(利润=出厂价-成本价)①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式;②当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是]解:(1)设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元,基础价为n元,浮动价为kx元,则y=kx+n.由表格中的数据得解得∴y=2x+10;(2)①设一张薄板的利润为P元,它的成本价为mx2元,由题意得P=y-mx2=2x+10-mx2.将x=40,P=26代入P=2x+10-mx2中,得26=2×40+10-m×402.解得m=.∴P=-x2+2x+10;②∵a=-<0,∴当x=-=-=25(在5~50之间)时,P最大值===35.即出厂一张边长为25cm的薄板,获得的利润最大,最大利润是35元.8.(安徽中考)如图所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的点A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.解:(1)当h=2.6时,将点A(0,2)代入y=a(x-6)2+h,得36a+2.6=2,a=-,4\n∴y与x的关系式为y=-(x-6)2+2.6;(2)当x=9时,y=2.45>2.43,∴球能越过球网;令y=0,-(x-6)2+2.6=0,解得x1=6-2(舍去),x2=6+2>18,∴球会出界;(3)将A(0,2)代入y=a(x-6)2+h得36a+h=2,a=;当x=9时,y=(9-6)2+h>2.43①;当x=18时,y=(18-6)2+h≤0②,由①②得h≥.4