第十一讲 二次函数及其应用第1课时 二次函数1.(2022随州中考)对于二次函数y=x2-2mx-3,下列结论错误的是( C )A.它的图象与x轴有两个交点B.方程x2-2mx=3的两根之积为-3C.它的图象的对称轴在y轴的右侧D.x<m时,y随x的增大而减小2.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是( A )A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)23.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则( A )A.ac+1=bB.ab+1=cC.bc+1=aD.以上都不是,(第3题图)) ,(第4题图))4.(2022齐齐哈尔中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t为实数);⑤点,,是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,正确的个数有( B )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个5.(2022安顺中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠1),其中结论正确的个数是( C )A.1B.2C.3D.4,(第5题图)) ,(第6题图))6.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当-1<x<3时,y>0其中正确的个数为( C )A.1B.2C.3D.47.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )A.m>1 B.m>0C.m>-1D.-1<m<08.(2022扬州中考)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(1,0),C(2,1),若二次函数y=x210\n+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是( C )A.b≤-2B.b<-2C.b≥-2D.b>-29.(2022枣庄中考)已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( D )A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大10.(2022鄂州中考)如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,且OB=OC.下列结论:①2b-c=2;②a=;③ac=b-1;④>0.其中正确的个数有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2022陕西中考)已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′,若点M′在这条抛物线上,则点M的坐标为( C )A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)12.抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是__(-1,2)__.13.二次函数y=x2的图象如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数y=x2的图象上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为__2__.,(第13题图)) ,(第14题图))14.(2022乌鲁木齐中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,有下列结论:①abc<0;②10a+3b+c>0;③抛物线经过点(4,y1)与点(-3,y2),则y1>y2;④无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点;⑤am2+bm+a≥0,其中所有正确的结论是__②④⑤__.15.(2022鹤岗中考)如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于点A,B两点,与y轴交于C点,10\n点B的坐标为(3,0),抛物线与直线y=-x+3交于C,D两点.连结BD,AD.(1)求m的值;(2)抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.解:(1)∵抛物线y=-x2+mx+3过(3,0),∴0=-9+3m+3,∴m=2;(2)由得∴D.∵S△ABP=4S△ABD,∴AB×|yP|=4×AB×,∴|yP|=9,yP=±9,当y=9时,-x2+2x+3=9,无实数解,当y=-9时,-x2+2x+3=-9,x1=1+,x2=1-,∴P(1+,-9)或(1-,-9).16.(2022随州中考)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”. 备用图10\n已知抛物线y=-x2-x+2与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的表达式为________,点A的坐标为________,点B的坐标为________;(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)y=-x+;(-2,2);(1,0);(2)如答图①,过A作AD⊥y轴于点D.答图①在y=-x2-x+2中,令y=0可求得x=-3或x=1,∴C(-3,0),且A(-2,2),∴AC==.由翻折的性质可知AN=AC=,∵△AMN为梦想三角形,∴N点在y轴上,且AD=2.在Rt△AND中,由勾股定理可得DN===3,∵OD=2,∴ON=2-3或ON=2+3,∴N点坐标为(0,2-3)或(0,2+3);(3)①当AC为平行四边形的边时,如答图②,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,答图②则有AC∥EF且AC=EF,∴∠ACK=∠EFH.10\n在△ACK和△EFH中,∴△ACK≌△EFH(A.A.S.),∴FH=CK=1,HE=AK=2,∵抛物线对称轴为直线x=-1,∴F点的横坐标为0或-2.∵点F在直线AB上,∴当F点横坐标为0时,则F,此时点E在直线AB下方,∴E到y轴的距离为EH-OF=2-=,即E点纵坐标为-,∴E;当F点的横坐标为-2时,则F与A重合,不合题意,舍去;②当AC为平行四边形的对角线时,∵C(-3,0),且A(-2,2),∴线段AC的中点坐标为(-2.5,).设E(-1,t),F(x,y),则x-1=2×(-2.5),y+t=2,∴x=-4,y=2-t,代入直线AB表达式可得2-t=-×(-4)+,解得t=-,∴E,F;综上可知存在满足条件的点F,此时E,F或E,F.17.(2022白银中考)如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;(2)连结AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;(3)连结OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.10\n解:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+x+4;(2)设点N的坐标为(n,0)(2<n<8),则BN=n+2,CN=8-n.∵B(-2,0),C(8,0),∴BC=10.在y=-x2+x+4中,令x=0,解得y=4,∴点A(0,4),OA=4,∵MN∥AC,∴==.∵OA=4,BC=10,∴S△ABC=BC·OA=×10×4=20.∴S△ABN=BN·OA=(n+2)×4=2(n+2),又∵===,∴S△AMN=S△ABN=(8-n)(n+2)=-(n-3)2+5.∴当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;(3)当N(3,0)时,N为BC边中点.∴M为AB边中点,∴OM=AB.∵AB===2,AC===4,∴AB=AC,∴OM=AC.第2课时 二次函数的应用10\n1.图②是图①中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴,若OA=10m,则桥面离水面的高度AC为( B ) 图① 图②A.16m B.mC.16mD.m2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0)和点(0,-3),且顶点在第四象限,设P=a+b+c,则P的取值范围是( B )A.-3<P<-1B.-6<P<0C.-3<P<0D.-6<P<-33.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( C )A.-20mB.10mC.20mD.-10m4.在平面直角坐标系中,将抛物线y=-x2向下平移1个单位,再向左平移1个单位,得到的抛物线的表达式( A )A.y=-x2-x-B.y=-x2+x-C.y=-x2+x-D.y=-x2-x-5.(2022江汉中考)飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数表达式是s=60t-t2,则飞机着陆后滑行的最长时间为__20__s.6.九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表:10\n售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是________元;②月销量是________件;(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?解:(1)①(x-60);②(-2x+400);(2)由题意,得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.7.(2022随州中考)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?时间x(天)1≤x<99≤x<15x≥15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80-3x120-x储存和损耗费用(元)40+3x3x2-64x+400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?解:(1)设该种水果每次降价的百分率是x.10(1-x)2=8.1,x=10%或x=190%(舍去).答:该种水果每次降价的百分率是10%;(2)当1≤x<9时,第1次降价后的价格:10×(1-10%)=9(元),∴y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,∵-17.7<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=1时,y有最大值,y大=-17.7×1+352=334.3(元),当9≤x<15时,第2次降价后的价格:8.1元,∴y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,∵-3<0,∴当9≤x≤10时,y随x的增大而增大,当10<x<15时,y随x的增大而减小,∴当x=10时,y有最大值,10\ny大=380(元),综上所述,y与x(1≤x<15)之间的函数关系式为:y=第10天时销售利润最大;(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元,由题意,得380-127.5≤(4-a)(120-15)-(3×152-64×15+400),252.5≤105(4-a)-115,a≤0.5.答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.8.(2022葫芦岛中考)五一期间,恒大影城隆重开业,影城每天运营成本为1000元,试营业期间统计发现,影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数:y=-4x+220(10≤x≤50,且x是整数),设影城每天的利润为w(元)(利润=票房收入-运营成本).(1)试求w与x之间的函数关系式;(2)影城将电影票售价定为多少元/张时,每天获利最大?最大利润是多少元?解:(1)根据题意,得w=(-4x+220)x-1000=-4x2+220x-1000;(2)∵w=-4x2+220x-1000=-4(x-27.5)2+2025,∴当x=27或28时,w取得最大值,最大值为2024,答:影城将电影票售价定为27或28元/张时,每天获利最大,最大利润是2024元.9.(2022扬州中考)农经公司以30元/kg的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(kg)与销售价格x(元/kg)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如表:销售价格x(元/kg)3035404550日销售量p(kg)6004503001500(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式;(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1kg这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)解:(1)假设p与x成一次函数关系,设函数关系式为p=kx+b,则解得∴p=-30x+1500,检验:当x=35,p=450;当x=45,p=150;当x=50,p=0,符合一次函数表达式,∴所求的函数表达式为p=-30x+1500;(2)设日销售利润w=p(x-30)=(-30x+1500)(x-30)即w=-30x2+2400x-45000,10\n∴当x=-=40时,w有最大值3000元,∴这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;(3)日获利w=p(x-30-a)=(-30x+1500)(x-30-a),即w=-30x2+(2400+30a)x-(1500a+45000),对称轴为x=-=40+a,①若a>10,则当x=45时,w有最大值,即w=2250-150a<2430(不合题意);②若a<10,则当x=40+a时,w有最大值,将x=40+a代入,可得w=30,当w=2430时,2430=30,解得a1=2,a2=38(舍去).综上所述,a的值为2.10