第十讲 反比例函数及其应用第1课时 反比例函数1．反比例函数y＝的图象在( B ) A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D.第二、四象限2．如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连结OA，则△ABO的面积为( D )A．－4B．4C．－2D．23．(2022赤峰中考)点A(1，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，则y1，y2的大小关系是( A )A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定4．(2022江汉中考)如图，P(m，m)是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为( D )A.B．3C.D.,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2022乌鲁木齐中考)如图，点A(a，3)，B(b，1)都在双曲线y＝上，点C，D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为( B )A．5B．6C．2＋2D．814\n6．已知点A(2，y1)，B(4，y2)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2的大小关系为( B )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．(2022佳木斯中考)反比例函数y＝图象上三个点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是( B )A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y28．(2022天水中考)下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是( C )①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数y＝.A．①②B．②③C．①③D．都不是9．如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是( D )A．6B．4C．3D．2,(第9题图)) ,(第10题图))10．(2022荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan∠DOC＝，则BN的长为__3__．11．(2022宁波中考)已知△ABC的三个顶点为A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y＝的图象上，则m的值为__2.5__．12．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为__8__．,(第12题图)) ,(第13题图))14\n13．(2022金华中考)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为__(4，1)__．14．已知点P(3，－2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝__－6__；在第四象限，函数值y随x的增大而__增大__．15．(2022扬州中考)如图，已知点A是反比例函数y＝－的图象上的一个动点，连结OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为y＝____．16．(2022绥化中考)已知反比例函数y＝，当x＞3时，y的取值范围是__0＜y＜2__．17．(2022宁德中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D(8，4)，反比例函数y＝的图象经过点D.若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为__2__．,(第17题图)) ,(第18题图))18．(2022永州中考)如图，已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k＝__－2__．19．已知反比例函数y＝.(1)若该反比例函数的图象与直线y＝kx＋4(k≠0)只有一个公共点，求k的值；(2)如图，反比例函数y＝(1≤x≤4)的图象记为曲线C1，将C1向左平移2个单位，得曲线C2，请在图中画出C2，并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积．14\n解：(1)联立得kx2＋4x－4＝0.又∵y＝的图象与直线y＝kx＋4只有一个公共点，∴42－4·k·(－4)＝0，∴k＝－1.(2)如图；C1平移至C2处所扫过的面积为6.20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象上有一点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD＝.(1)点D的横坐标为______；(用含m的式子表示)(2)求反比例函数的表达式．解：(1)m＋2；(2)∵CD∥y轴，CD＝，∴点D的坐标为.∵A，D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴4m＝(m＋2)，解得m＝1，∴点A的横坐标为1，∴k＝4m＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.21．(2022呼和浩特中考)已知反比例函数y＝(k为常数)．(1)若点P1和点P2是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小；(2)设点P(m，n)(m＞0)是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M.若tan∠POM＝2，PO＝14\n(O为坐标原点)，求k的值，并直接写出不等式kx＋＞0的解集．解：(1)∵－k2－1＜0，∴反比例函数y＝在每一个象限內y随x的增大而增大．∵－＜＜0，∴y1＞y2；(2)点P(m，n)在反比例函数y＝的图象上，m＞0，∴n＜0，∴OM＝m，PM＝－n.∵tan∠POM＝2，∴＝＝2，∴－n＝2m．∵PO＝，∴m2＋(－n)2＝5，∴m＝1，n＝－2，∴P(1，－2)，∴－k2－1＝－2，解得k＝±1，①当k＝－1时，则不等式kx＋＞0的解集为：x＜－或0＜x＜；②当k＝1时，则不等式kx＋＞0的解集为：x＞0.22．(2022山西中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上．函数y＝2x的图象与CB交于点D，函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y＝2x的图象在第三象限内交于点F，连结AF，EF.(1)求函数y＝的表达式，并直接写出E，F两点的坐标；(2)求△AEF的面积．解：(1)∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y＝2，将y＝2代入y＝2x，得x＝1.∴点D的坐标为(1，2)．14\n∵函数y＝的图象经过点D，∴2＝，∴k＝2，∴函数y＝的表达式为y＝，E(2，1)，F(－1，－2)；(2)过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G.∵E，F两点的坐标分别为(2，1)，(－1，－2)，∴AE＝1，FG＝2－(－1)＝3，∴S△AEF＝AE·FG＝×1×3＝. 23．(2022赤峰中考)如图，一次函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC.(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的表达式；(2)点P(2，m)在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．解：(1)在y＝－x＋1中，令y＝0可解得x＝，令x＝0可得y＝1，∴A(，0)，B(0，1)，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠CAO＝90°.在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB＝2，∴AC＝2，∴C(，2)．∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝2，∴反比例函数表达式为y＝；(2)∵P(2，m)在第一象限，∴AD＝OD－OA＝2－＝，PD＝m，当△ADP∽△AOB时，14\n则有＝，即＝，解得m＝1，此时P点坐标为(2，1)；当△PDA∽△AOB时，则有＝，即＝，解得m＝3，此时P点坐标为(2，3)；把P(2，3)代入y＝可得3≠，∴P(2，3)不在反比例函数图象上，把P(2，1)代入反比例函数表达式得1＝，∴P(2，1)在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为(2，1)．14\n第2课时 一次函数与反比例函数的综合1．(2022永州中考)在同一平面直角坐标系中函数y＝x＋k与y＝(k为常数，k≠0)的图象大致是( B ),A) ,B) ,C) ,D)2．(2022鹤岗中考)如图，是反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx＋n的图象，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是( A )A．1＜x＜6 B．x＜1C．x＜6D．x＞13．(2022张家界中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m(m≠0)与y＝(m≠0)的图象可能是( D ),A) ,B) ,C) ,D)4．(2022广东中考)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为( A )A．(－1，－2)B．(－2，－1)C．(－1，－1)D．(－2，－2),(第4题图)) ,(第5题图))5．(2022桂林中考)一次函数y＝－x＋1(0≤x≤10)与反比例函数y＝(－10≤x＜0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点(x1，y1)，(x2，y2)是图象上两个不同的点，若y1＝y2，则x1＋x2的取值范围是( B )A．－≤x≤1B．－≤x≤C．－≤x≤D．1≤x≤6．(2022青岛中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－1，－4)，B(2，2)两点，P为反比例函数y14\n＝图象上的一个动点，O为坐标原点，过P作x轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为( A )A．2B．4C．8D．不确定7．已知一次函数y＝2x＋4的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为__y＝__．8．如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是__y＝__．9．(2022菏泽中考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为__36__．10．(2022长沙中考)如图，点M是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为__4__．,(第10题图)) ,(第11题图))11．(2022南京中考)函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是__①③__．12．(2022深圳中考)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)交于A(2，4)，B(a，1)，与x轴，y轴分别交于点C，D.(1)直接写出一次函数y＝kx＋b的表达式和反比例函数y＝(x＞0)的表达式；(2)求证：AD＝BC.解：(1)反比例函数的表达式为y＝，14\n一次函数表达式为y＝－x＋5；(2)∵直线AB的表达式为y＝－x＋5，∴C(10，0)，D(0，5)．如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，∴E(0，4)，F(8，0)，∴AE＝2，DE＝1，BF＝1，CF＝2.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD＝＝，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BC＝＝，∴AD＝BC.13．(2022安顺中考)已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．解：(1)∵A(1，4)在反比例函数图象上，∴把A(1，4)代入反比例函数y1＝，得4＝，解得k1＝4，∴反比例函数表达式为y1＝.又B(m，－2)在反比例函数图象上，∴把B(m，－2)代入反比例函数表达式，解得m＝－2，即B(－2，－2)，把A(1，4)和B(－2，－2)代入一次函数表达式y2＝ax＋b，得解得∴一次函数表达式为y2＝2x＋2；(2)根据图象得：－2＜x＜0或x＞1.14\n14．(2022吉林中考)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y＝(x＞0)的图象交于点A(m，2)，B(2，n)．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD＝OC，且△ACD的面积是6，连结BC.求：(1)m，k，n的值；(2)△ABC的面积．解：(1)∵点A的坐标为(m，2)，AC平行于x轴，∴OC＝2，AC⊥y轴．∵OD＝OC，∴OD＝1，∴CD＝3.∵△ACD的面积为6，∴CD·AC＝6，∴AC＝4，即m＝4，∴点A的坐标为(4，2)，将其代入y＝，得k＝8.∵点B(2，n)在y＝的图象上，∴n＝4；(2)如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE＝2，∴S△ABC＝AC·BE＝×4×2＝4，即△ABC的面积为4.15．(2022随州中考)如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.(1)求反比例函数的表达式；(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由．解：(1)由题意B，14\n把B代入y＝中，得到k＝－3，∴反比例函数的表达式为y＝－；(2)结论：P在第二象限，Q在第四象限．理由：∵k＝－3＜0，∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∴P，Q在不同的象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．16．(2022内江中考)已知A(－4，2)，B(n，－4)两点是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－＞0的解集．解：(1)把A(－4，2)代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8，∴反比例函数表达式为y＝－，把B(n，－4)代入y＝－，得－4n＝－8，解得n＝2，∴B(2，－4)．把A(－4，2)和B(2，－4)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝－x－2；(2)y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，∴点C(－2，0)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6；14\n(3)由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为：x＜－4或0＜x＜2.17．(2022黄冈中考)如图，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝的图象有两个交点(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE.求：(1)k的值；(2)四边形AEDB的面积．解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1，得－2×(－1)＋1＝m，∴m＝3，∴A点的坐标为(－1，3)．将A(－1，3)代入y＝，得k＝(－1)×3＝－3；(2)延长AE，BD交于点H.∵BD⊥y轴，∴BD∥x轴，∴yB＝yD.又∵点D(0，－2)，∴yB＝－2.将yB＝－2代入y＝－中，可得x＝，∴B，∴H(－1，－2)，E(－1，0)，∴HE＝2，DH＝1，AH＝3－(－2)＝5，BH＝－(－1)＝，∴S四边形AEDB＝S△AHB－S△DHE＝AH·BH－EH·DH＝×5×－×2×1＝.18．(2022宜宾中考)如图，直线y＝x－1与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为(－1，m)．(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P(n，－1)是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．14\n解：(1)把A(－1，m)代入y＝x－1，∴m＝－2，∴A(－1，－2)．把A(－1，－2)代入y＝，∴k＝2.∴反比例函数的表达式为y＝；(2)在y＝x－1中，当y＝0时，x＝1，∴C(1，0)．把点P(n，－1)代入y＝，得n＝－2，∴P(－2，－1)．∵PE⊥x轴，∴E(－2，0)．设F(－2，a)，把F(－2，a)代入y＝x－1，∴a＝－3，∴F(－2，－3)．∴CE＝3，EF＝3.∴S△CEF＝CE·EF＝.14
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