湖南省2022年中考数学总复习第三单元函数及其图象课时训练15二次函数的综合问题练习

二次函数的综合问题15二次函数的综合问题限时:30分钟夯实基础1.[2022·苏州]若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为(　　)A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52D.x1=-4,x2=02.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线(　　)A.x=1B.x=2C.x=32D.x=-323.[2022·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.下列说法中正确的是(　　)A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同B.点火后24s火箭落于地面C.点火后10s的升空高度为139mD.火箭升空的最大高度为145m4.[2022·河池二模]如图K15-1,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为(　　)9\n图K15-1A.-23B.-23C.-2D.-125.[2022·莱芜]若函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是(　　)A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<26.[2022·扬州一模]一种包装盒的设计方法如图K15-2所示,四边形ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE=CF=xcm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取(　　)图K15-2A.30cmB.25cmC.20cmD.15cm7.如图K15-3,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的表达式为y=x2-2x-3,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　　　　. 图K15-38.已知关于x的二次函数y=x2-(2m+3)x+m2+2.(1)若二次函数的图象与x轴有两个交点,求实数m的取值范围.(2)设二次函数的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.9\n能力提升9.[2022·杭州]四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是(　　)A.甲B.乙C.丙D.丁10.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点.如果将二次函数y=-x2+8x-394的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点共有　　　　个. 11.如图K15-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点P为抛物线对称轴上一点,连接OA,OP.当OA⊥OP时,点P的坐标为　　　　. 图K15-412.若二次函数y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.(1)请写出两个互为“旋转函数”的函数.(2)若函数y=x2-43mx-2n+1与y=-x2-2nx+3互为“旋转函数”,求(m-2n)2022的值.(3)已知函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,点A,B,C关于原点的对称点分别为A1,B1,C1,试问:经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”吗?请说明理由.9\n13.[2022·陕西]已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',则L'与x轴相交于A',B'两点(点A'在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.拓展练习14.[2022·株洲]如图K15-5,已知二次函数y=ax2-53x+c(a>0)的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.(1)若抛物线的对称轴为直线x=3,求a的值;(2)若a=15,求c的取值范围;9\n(3)若该抛物线与y轴相交于点D,连接BD,且∠OBD=60°,抛物线的对称轴l与x轴相交于点E,点F是直线l上的一点,点F的纵坐标为3+12a,连接AF,满足∠ADB=∠AFE,求该二次函数的表达式.图K15-5参考答案1.A　[解析]∵y=ax2+1的图象经过点(-2,0),∴4a+1=0.解得a=-14.∴-14(x-2)2+1=0.解得x1=0,x2=4.2.C　3.D　4.B　5.A6.C　[解析]如图,因为BE=CF=x,所以EF=80-2x.∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形,∴MF=22EF=402-2x,FN=2FC=2x.∴包装盒的侧面积=4MF·FN=4×2x(402-2x)=-8(x-20)2+3200.∴当x=20时,包装盒的侧面积最大.7.3+3　[解析]连接AC,BC.∵抛物线的表达式为y=x2-2x-3,∴点D的坐标为(0,-3).∴OD的长为3.设y=0,则0=x2-2x-3.解得x=-1或3.∴A(-1,0),B(3,0).∴AO=1,BO=3.∵AB为半圆的直径,∴∠ACB=90°.∵CO⊥AB,易得△ACO∽9\n△CBO,∴COBO=AOCO,∴CO2=AO·BO=3.∴CO=3.∴CD=CO+OD=3+3.8.解:(1)由题意,得[-(2m+3)]2-4×1×(m2+2)>0,解得m>-112.(2)由根与系数的关系,得x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,因为x12+x22=31+|x1x2|,所以(x1+x2)2-2x1x2=31+|x1x2|.(2m+3)2-2(m2+2)=31+m2+2,整理,得m2+12m-28=0.解得m1=2,m2=-14(舍去).∴当m=2时,满足x12+x22=31+|x1x2|.9.B10.25　[解析]将二次函数化简,得y=-(x-4)2+254.令y=0,得x=132或32,所以在红色区域内部及其边界上的整点有(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25个,故答案为25.11.(2,-4)　[解析]∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,∴-12a=2.∴a=-14.∴抛物线的表达式为y=-14x2+x=-14(x-2)2+1.∴顶点A的坐标为(2,1).设对称轴与x轴的交点为E.如图,在Rt△AOE和Rt△POE中,tan∠OAE=OEAE,tan∠EOP=PEOE.∵OA⊥OP,∴∠OAE=∠EOP.∴OEAE=PEOE.∵AE=1,OE=2,∴21=PE2.解得PE=4.∴P(2,-4).故答案为(2,-4).9\n12.解:(1)答案不唯一,如:y=x2和y=-x2.(2)∵函数y=x2-43mx-2n+1与y=-x2-2nx+3互为“旋转函数”,∴-43m=-2n且-2n+1+3=0.解得m=3,n=2.∴(m-2n)2022=(3-2×2)2022=-1.(3)经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”.理由是:∵函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,∴A(-1,0),B(2,0),C(0,-2).∵点A,B,C关于原点的对称点分别为A1,B1,C1,∴A1(1,0),B1(-2,0),C1(0,2).设过A1,B1,C1三点的二次函数的表达式为y1=a(x-1)·(x+2),把点C1的坐标代入,得2=a(0-1)(0+2).解得a=-1.∴y1=-(x-1)(x+2)=-x2-x+2.∵y=x2-x-2,1+(-1)=0,-1=-1,2+(-2)=0,∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”.13.解:(1)令y=0,得x2+x-6=0.解得x1=-3,x2=2.∵点A在点B的左侧,∴A(-3,0),B(2,0).∴AB=|2-(-3)|=5.∵当x=0时,y=-6,∴C(0,-6).∴S△ABC=12×5×6=15.(2)y=x2+x-6=x+122-254.设平移后的抛物线解析式为y=(x+h)2-254.根据题意可知,A'B'=AB,要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,只需高相等即可,故平移后的抛物线应过点(0,-6)或点(0,6).9\n①若过点(0,-6),则h2-254=-6.解得h1=12(舍去),h2=-12.故此时满足条件的抛物线解析式为y=x-122-254=x2-x-6.②若过点(0,6),则h2-254=6.解得h1=72,h2=-72.故此时满足条件的抛物线解析式为y=x+722-254=x2+7x+6或y=x-722-254=x2-7x+6.综上所述,满足条件的抛物线的函数表达式为y=x2-x-6,y=x2+7x+6或y=x2-7x+6.14.解:(1)∵对称轴为x=-b2a=--532a=3,∴a=52.(2)∵a=15,∴15x2-53x+c=0有两个不相等的实数根.∴(-53)2-4×15c>0.∴c<54.(3)如图,过点A作AM⊥BD于M.∵点D是y=ax2-53x+c的图象与y轴的交点,∴OD=c.在Rt△BOD中,∠OBD=60°,OD=c,∴OB=33c,BD=233c.∴点B的坐标为33c,0.代入二次函数的解析式,得a×33c2-53×33c+c=0.∴ac=12.∴c=12a.9\n∴BD=233c=83a,OB=33c=43a.∵直线EF是y=ax2-53x+c的图象的对称轴,∴xE=532a.∴BE=xB-xE=43a-532a=332a.∴AE=BE=332a,AB=33a.在Rt△AMB中,∠OBD=60°,AB=33a,∴AM=92a,BM=332a.∴DM=BD-BM=83a-332a=1332a.∵∠ADB=∠AFE,∴tan∠ADB=tan∠AFE.∴AMDM=AEEF.∴92a1332a=332a3+12a.∴a=2.∵ac=12,∴c=6.∴y=2x2-53x+6.9