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(挑战2022)中考数学 压轴题第六版精选 1.2 因动点产生的等腰三角形问题

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1.2因动点产生的等腰三角形问题例12022年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”,拖动点P在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.拖动点M在抛物线的对称轴上运动,观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点M有1次机会落在AC的垂直平分线上;点A有2次机会落在MC的垂直平分线上;点C有2次机会落在MA的垂直平分线上,但是有1次M、A、C三点共线.思路点拨1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时△PAC的周长最小.2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,设y=a(x+1)(x-3),代入点C(0,3),得-3a=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.16\n由,BO=CO,得PH=BH=2.所以点P的坐标为(1,2).图2(3)点M的坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的:设点M的坐标为(1,m).在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.此时点M的坐标为(1,1).②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得.此时点M的坐标为(1,)或(1,).③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.当M(1,6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).图3图4图516\n例22022年临沂市中考第26题如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”,拖动点P在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点,当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时,B、O、P三点共线.请打开超级画板文件名“12临沂26”,拖动点P,发现存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的距离公式列方程;然后解方程并检验.2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起.满分解答(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.所以点B的坐标为.(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),16\n代入点B,.解得.所以抛物线的解析式为.(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.当P在时,B、O、P三点共线(如图2).②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.图2图3考点伸展如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.由,得抛物线的顶点为.因此.所以∠DOA=30°,∠ODA=120°.例32022年湖州市中考第24题如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H16\n(如图2).当点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).图1图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上.双击按钮“第(3)题”,拖动点P由O向C运动,可以体验到,点H在以OM为直径的圆上运动.双击按钮“第(2)题”可以切换.思路点拨1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备.2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?Rt△OHM的斜边长OM是定值,以OM为直径的圆过点H、C.满分解答(1)因为PC//DB,所以.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以AD=4-m.于是得到点D的坐标为(2,4-m).(2)在△APD中,,,.①当AP=AD时,.解得(如图3).②当PA=PD时,.解得(如图4)或(不合题意,舍去).③当DA=DP时,.解得(如图5)或(不合题意,舍去).综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为,或.16\n图3图4图5(3)点H所经过的路径长为.考点伸展第(2)题解等腰三角形的问题,其中①、②用几何说理的方法,计算更简单:①如图3,当AP=AD时,AM垂直平分PD,那么△PCM∽△MBA.所以.因此,.②如图4,当PA=PD时,P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO.因此.解得.第(2)题的思路是这样的:如图6,在Rt△OHM中,斜边OM为定值,因此以OM为直径的⊙G经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P与O重合时,是点H运动的起点,∠COH=45°,∠CGH=90°.图6图716\n例42022年盐城市中考第28题如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数的图象交于点A,且与x轴交于点B.(1)求点A和点B的坐标;(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图象中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.思路点拨1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.满分解答(1)解方程组得所以点A的坐标是(3,4).令,得.所以点B的坐标是(7,0).(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得16\n.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.在△APQ中,为定值,,.如图5,当AP=AQ时,解方程,得.如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.16\n图5图6图7考点伸展当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解.例52022年上海市闸北区中考模拟第25题如图1,在直角坐标平面内有点A(6,0),B(0,8),C(-4,0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动,MN交OB于点P.(1)求证:MN∶NP为定值;(2)若△BNP与△MNA相似,求CM的长;(3)若△BNP是等腰三角形,求CM的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”,拖动点M在CA上运动,可以看到△BNP与△MNA的形状随M16\n的运动而改变.双击按钮“△BNP∽△MNA”,可以体验到,此刻两个三角形都是直角三角形.分别双击按钮“BP=BN,N在AB上”、“NB=NP”和“BP=BN,N在AB的延长线上”,可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况.思路点拨1.第(1)题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计算提供了方便.2.第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角,通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似.3.第(3)题探求等腰三角形,要两级(两层)分类,先按照点N的位置分类,再按照顶角的顶点分类.注意当N在AB的延长线上时,钝角等腰三角形只有一种情况.4.探求等腰三角形BNP,N在AB上时,∠B是确定的,把夹∠B的两边的长先表示出来,再分类计算.满分解答(1)如图2,图3,作NQ⊥x轴,垂足为Q.设点M、N的运动时间为t秒.在Rt△ANQ中,AN=5t,NQ=4t,AQ=3t.在图2中,QO=6-3t,MQ=10-5t,所以MN∶NP=MQ∶QO=5∶3.在图3中,QO=3t-6,MQ=5t-10,所以MN∶NP=MQ∶QO=5∶3.(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角,因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形,要么是两个直角三角形.只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.如图4,△BNP∽△MNA,在Rt△AMN中,,所以.解得.此时CM.图2图3图4(3)如图5,图6,图7中,,即.所以.16\n①当N在AB上时,在△BNP中,∠B是确定的,,.(Ⅰ)如图5,当BP=BN时,解方程,得.此时CM.(Ⅱ)如图6,当NB=NP时,.解方程,得.此时CM.(Ⅲ)当PB=PN时,.解方程,得t的值为负数,因此不存在PB=PN的情况.②如图7,当点N在线段AB的延长线上时,∠B是钝角,只存在BP=BN的可能,此时.解方程,得.此时CM.图5图6图7考点伸展如图6,当NB=NP时,△NMA是等腰三角形,,这样计算简便一些.例62022年南通市中考第27题如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C16\n重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”,拖动点E在BC上运动,观察y随x变化的函数图象,可以体验到,y是x的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图象,可以看到,当E是BC的中点时,y取得最大值.双击按钮“m=8”,拖动E到BC的中点,可以体验到,点F是AB的四等分点.拖动点A可以改变m的值,再拖动图象中标签为“y随x”的点到射线y=x上,从图形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.思路点拨1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.2.第(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF为等腰三角形,那么得到x=y;一段是计算,化简消去m,得到关于x的一元二次方程,解出x的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.满分解答(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此,即.整理,得y关于x的函数关系为.(2)如图2,当m=8时,.因此当x=4时,y取得最大值为2.(3)若,那么.整理,得.解得x=2或x=6.要使△DEF16\n为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y=2代入,得m=6(如图3);将x=y=6代入,得m=2(如图4).图2图3图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:由第(1)题得到,那么不论m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第(2)题m=8是第(1)题一般性结论的一个特殊性.再如,不论m为小于8的任何值,△DEF都可以成为等腰三角形,这是因为方程总有一个根的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊性.16\n例72022年重庆市中考第26题已知:如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连结DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在成立,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”,拖动点G在OC上运动,可以体验到,△DCG与△DEF保持全等,双击按钮“M的横坐标为1.2”,可以看到,EF=2,GO=1.拖动点P在AB上运动的过程中,可以体验到,存在三个时刻,△PCG可以成为等腰三角形.思路点拨1.用待定系数法求抛物线的解析式,这个解析式在第(2)、(3)题的计算中要用到.2.过点M作MN⊥AB,根据对应线段成比例可以求FA的长.3.将∠EDC绕点D旋转的过程中,△DCG与△DEF保持全等.4.第(3)题反客为主,分三种情况讨论△PCG为等腰三角形,根据点P的位置确定点Q的位置,再计算点Q的坐标.16\n满分解答(1)由于OD平分∠AOC,所以点D的坐标为(2,2),因此BC=AD=1.由于△BCD≌△ADE,所以BD=AE=1,因此点E的坐标为(0,1).设过E、D、C三点的抛物线的解析式为,那么解得,.因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为.(2)把代入,求得.所以点M的坐标为.图2如图2,过点M作MN⊥AB,垂足为N,那么,即.解得.因为∠EDC绕点D旋转的过程中,△DCG≌△DEF,所以CG=EF=2.因此GO=1,EF=2GO.(3)在第(2)中,GC=2.设点Q的坐标为.①如图3,当CP=CG=2时,点P与点B(3,2)重合,△PCG是等腰直角三角形.此时,因此。由此得到点Q的坐标为.②如图4,当GP=GC=2时,点P的坐标为(1,2).此时点Q的横坐标为1,点Q的坐标为.③如图5,当PG=PC时,点P在GC的垂直平分线上,点P、Q与点D重合.此时点Q的坐标为(2,2).16\n图3图4图5考点伸展在第(2)题情景下,∠EDC绕点D旋转的过程中,FG的长怎样变化?设AF的长为m,那么.点F由E开始沿射线EA运动的过程中,FG先是越来越小,F与A重合时,FG达到最小值;F经过点A以后,FG越来越大,当C与O重合时,FG达到最大值4.16

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发布时间:2022-08-25 20:09:25 页数:16
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文章作者:U-336598

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