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(挑战2022)中考数学 压轴题第六版精选 1.3 因动点产生的直角三角形问题
(挑战2022)中考数学 压轴题第六版精选 1.3 因动点产生的直角三角形问题
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1.3因动点产生的直角三角形问题例12022年广州市中考第24题如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.请打开超级画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.思路点拨1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.3.灵活应用相似比解题比较简便.满分解答(1)由,15\n得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4,0)、B(2,0).对称轴是直线x=-1.(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′.设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以.所以,点D的坐标为.因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.而D′H=DH,所以D′G=3DG.所以D′的坐标为.图2图3(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M.以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了.联结GM,那么GM⊥l.在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.在Rt△EM1A中,AE=8,,所以M1A=6.所以点M1的坐标为(-4,6),过M1、E的直线l为.根据对称性,直线l还可以是.考点伸展第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式.在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.15\n例22022年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.请打开超级画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.思路点拨1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是.题目中的k都是一致的.2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.满分解答(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.当k=-2时,反比例函数的解析式是.(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线.图115\n所以当k<0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.(3)抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.由OQ2=OA2,得.解得(如图2),(如图3).图2图3考点伸展如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k>0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.图4图515\n例32022年沈阳市中考第25题如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.①当线段时,求tan∠CED的值;②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.图1动感体验请打开几何画板文件名“11沈阳25”,拖动点E或F在y轴上运动,可以体验到,△CDE有两次机会成为等腰直角三角形.双击按钮“PQ=3”可以准确显示时的位置.思路点拨1.第(1)、(2)题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题.2.第(3)题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.3.根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了.满分解答(1)设抛物线的函数表达式为,代入点C(0,-3),得.所以抛物线的函数表达式为.15\n(2)由,知A(-1,0),B(3,0).设直线BC的函数表达式为,代入点B(3,0)和点C(0,-3),得解得,.所以直线BC的函数表达式为.(3)①因为AB=4,所以.因为P、Q关于直线x=1对称,所以点P的横坐标为.于是得到点P的坐标为,点F的坐标为.所以,.进而得到,点E的坐标为.直线BC:与抛物线的对称轴x=1的交点D的坐标为(1,-2).过点D作DH⊥y轴,垂足为H.在Rt△EDH中,DH=1,,所以tan∠CED.②,.图2图3图4考点伸展第(3)题②求点P的坐标的步骤是:如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标.15\n例42022年浙江省中考第23题设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,∠APB有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA.答案(1)直线①和③是点C的直角线.(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP=6或OP=1.如图2,当OP=6时,l1:,l2:y=-2x+6.如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1,l2:.图2图315\n例52022年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.(1)求点B的坐标;(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”,拖动点P从O向A运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.思路点拨1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长.15\n3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.满分解答(1)因为抛物线经过原点,所以.解得,(舍去).因此.所以点B的坐标为(2,4).(2)①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t,2t).当点C落在抛物线上时,.解得.②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得.如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时.解得.如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时.解得.图1图2图3考点伸展在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值.如图5,当P、Q重合时,两圆内切,.如图6,当两圆外切时,.15\n图4图5图6例62022年嘉兴市中考第24题如图1,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.(1)求x的取值范围;(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:△ABC的最大面积?图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”,拖动点B在AN15\n上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;∠CAB和∠ACB可以成为直角,∠CBA不可能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U”形,当AB等于1.5时,面积达到最大值.思路点拨1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于x的不等式组,可以求得x的取值范围.2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性.3.把△ABC的面积S的问题,转化为S2的问题.AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论,分CD在三角形内部和外部两种情况.满分解答(1)在△ABC中,,,,所以解得.(2)①若AC为斜边,则,即,此方程无实根.②若AB为斜边,则,解得,满足.③若BC为斜边,则,解得,满足.因此当或时,△ABC是直角三角形.(3)在△ABC中,作于D,设,△ABC的面积为S,则.①如图2,若点D在线段AB上,则.移项,得.两边平方,得.整理,得.两边平方,得.整理,得所以().当时(满足),取最大值,从而S取最大值.15\n图2图3②如图3,若点D在线段MA上,则.同理可得,().易知此时.综合①②得,△ABC的最大面积为.考点伸展第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设,例如在图2中,由列方程.整理,得.所以.因此.例72022年河南省中考第23题15\n如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).(1)试说明△ABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.①求S与t的函数关系式;②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”,拖动点M从A向B运动,观察S随t变化的图象,可以体验到,当M在AO上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当M在OB上时,S随t的增大而增大.观察S的度量值,可以看到,S的值可以等于4.观察△MON的形状,可以体验到,△MON可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.思路点拨1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.满分解答(1)直线与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4).Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5.点A的坐标是(-2,0),所以BA=5.因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.15\n(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.在Rt△BNH中,BN=t,,所以.如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时.定义域为0<t≤2.如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时.定义域为2<t≤5.图2图3②把S=4代入,得.解得,(舍去负值).因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4的情形,此时.③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM,,所以.解得.如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,.不存在∠ONM=90°的可能.所以,当或者时,△MON为直角三角形.图4图515\n考点伸展在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.图6图715
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:09:26
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