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(挑战2022)中考数学 压轴题第六版精选 2.1 由比例线段产生的函数关系问题

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2.1由比例线段产生的函数关系问题例12022年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,,⊙B的半径长为1,⊙B交边CB于点P,点O是边AB上的动点.(1)如图1,将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M,请判断⊙M与直线AB的位置关系;(2)如图2,在(1)的条件下,当△OMP是等腰三角形时,求OA的长;(3)如图3,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切,设NB=y,OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”,拖动点O在AB上运动,观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以体验到,点O和点P可以落在对边的垂直平分线上,点M不能.请打开超级画板文件名“12徐汇25”,分别点击“等腰”按钮的左部和中部,观察三个角度的大小,可得两种等腰的情形.点击“相切”按钮,可得y关于x的函数关系.思路点拨1.∠B的三角比反复用到,注意对应关系,防止错乱.2.分三种情况探究等腰△OMP,各种情况都有各自特殊的位置关系,用几何说理的方法比较简单.3.探求y关于x的函数关系式,作△OBN的边OB上的高,把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形.满分解答1.在Rt△ABC中,AC=6,,所以AB=10,BC=8.过点M作MD⊥AB,垂足为D.在Rt△BMD中,BM=2,,所以.6\n因此MD>MP,⊙M与直线AB相离.图4(2)①如图4,MO≥MD>MP,因此不存在MO=MP的情况.②如图5,当PM=PO时,又因为PB=PO,因此△BOM是直角三角形.在Rt△BOM中,BM=2,,所以.此时.③如图6,当OM=OP时,设底边MP对应的高为OE.在Rt△BOE中,BE=,,所以.此时.图5图6(3)如图7,过点N作NF⊥AB,垂足为F.联结ON.当两圆外切时,半径和等于圆心距,所以ON=x+y.在Rt△BNF中,BN=y,,,所以,.在Rt△ONF中,,由勾股定理得ON2=OF2+NF2.于是得到.整理,得.定义域为0<x<5.图7图8考点伸展第(2)题也可以这样思考:如图8,在Rt△BMF中,BM=2,,.在Rt△OMF中,OF=,所以.在Rt△BPQ中,BP=1,,.6\n在Rt△OPQ中,OF=,所以.①当MO=MP=1时,方程没有实数根.②当PO=PM=1时,解方程,可得③当OM=OP时,解方程,可得.例22022年连云港市中考第26题如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点.(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行;(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长.设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧时,MN与AB不平行.当点A落在上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.请打开超级画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧时,MN与AB不平行.当点A落在上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.s与t之间的函数关系式呈抛物线图象,当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12千米.答案(1)当M、N都在O右侧时,,,所以.因此MN与AB不平行.(2)①如图2,当M、N都在O右侧时,∠OMN>∠B,不可能△OMN∽△OBA.6\n②如图3,当M在O左侧、N在O右侧时,∠MON>∠BOA,不可能△OMN∽△OBA.③如图4,当M、N都在O左侧时,如果△OMN∽△OBA,那么.所以.解得t=2.图2图3图4(3)①如图2,,,..②如图3,,,..③如图4,,,..综合①、②、③,s.所以当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12千米.例32022年上海市中考第25题在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,.(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.6\n图1图2备用图动感体验请打开几何画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,从图象中可以看到,y是x的一次函数.观察图形和角度的度量值,可以体验到,点E在AC和BC上,各存在一个时刻,△AME∽△ENB.请打开超级画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,当点E与点C重合时,.点E在边AC上时,y是x的一次函数.当AP=42时,三角形相似,且满足顶点对应。思路点拨1.本题不难找到解题思路,难在运算相当繁琐.反复解直角三角形,注意对应关系.2.备用图暗示了第(3)题要分类讨论,点E在BC上的图形画在备用图中.3.第(3)题当E在BC上时,重新设BP=m可以使得运算简便一些.满分解答(1)在Rt△ABC中,BC=30,AB=50,所以AC=40,,.在Rt△ACP中,.在Rt△CMP中,因为,所以.(2)在Rt△AEP中,.在Rt△EMP中,因为,所以.因此,.已知EM=EN,PE⊥AB,所以MP=NP.于是.定义域为0<x<32.6\n(3)①如图3,当E在AC上时,由,得.解得x=AP=22.②如图4,当E在BC上时,设BP=m,那么AP=50-m.在Rt△BEP中,.在Rt△EMP中,,.所以,.这时由,得.解得m=BP=8.所以AP=50-m=42.图3图4图5考点伸展如果第(3)题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”,那么还存在图5所示的一种情况,∠EAM=∠EBN,此时PE垂直平分AB,AP=25.6

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发布时间:2022-08-25 20:09:28 页数:6
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文章作者:U-336598

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