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(挑战2022)中考数学 压轴题第六版精选 2.2 由面积产生的函数关系问题

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2.2由面积产生的函数关系问题例12022年广东省中考第22题如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.(1)求AB和OC的长;(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”,拖动点E由A向B运动,观察图象,可以体验到,△ADE的面积随m的增大而增大,△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,E在AB的中点时,△CDE的面积最大.思路点拨1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.满分解答(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).所以AB=9,OC=9.10\n(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.所以.而,AE=m,所以.m的取值范围是0<m<9.图2图3(3)如图2,因为DE//CB,所以.因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.所以.当时,△CDE的面积最大,最大值为.此时E是AB的中点,.如图3,作EH⊥CB,垂足为H.在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.在Rt△BEH中,.当⊙E与BC相切时,.所以.考点伸展在本题中,△CDE与△BEC能否相似?如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.例22022年河北省中考第26题10\n如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.发现请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.图1图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”,拖动点D由A向C运动,观察(m+n)随x变化的图象,可以体验到,D到达G之前,(m+n)的值越来越大;D经过G之后,(m+n)的值越来越小.观察圆与线段AC的交点情况,可以体验到,当D运动到G时(如图3),或者点A在圆的内部时(如图4),圆与线段AC只有唯一的交点D.图3图4答案探究AH=12,AC=15,S△ABC=84.拓展(1)S△ABD=,S△CBD=.10\n(2)由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得.所以.由于AC边上的高,所以x的取值范围是≤x≤14.所以(m+n)的最大值为15,最小值为12.(3)x的取值范围是x=或13<x≤14.发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小,最小值为.例32022年淮安市中考第28题如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.请打开超级画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S10\n的最大值在六边形这个时段.思路点拨1.全程运动时间为8秒,最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形,这叫做磨刀不误砍柴工.2.这道题目的运算太繁琐了,如果你的思路是对的,就坚定地、仔细地运算,否则放弃也是一种好的选择.满分解答(1)当t=1时,EF=2;当t=3时,EF=4.(2)①如图1,当时,.所以.②如图2,当时,,,.于是,.所以.③如图3,当时,,,.所以.图2图3图4(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,S的最大值为,此时.图5图6图710\n考点伸展第(2)题中t的临界时刻是这样求的:如图8,当H落在AC上时,,,由,得.如图9,当G落在AC上时,,,由,得.图8图9例42022年山西省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点C的坐标为____________,直线l的解析式为____________;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大?最大值是多少?图1动感体验请打开几何画板文件名“11山西26”,拖动点P由O向A运动,可以体验到,点Q先到达终点.从S随t变化的跟踪轨迹可以看到,整个运动过程中,S随t变化的图象是“N”字型,由四段组成.请打开超级画板文件名“11山西26”,拖动点P由O向A运动,可以体验到,点Q先到达终点.点击按钮“函数表达式”,S随t先增大后减少。当t=2.67时,S=14.22.10\n思路点拨1.用含有t的式子表示线段的长,是解题的关键.2.第(2)题求S与t的函数关系式,容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况.3.第(2)题建立在第(2)题的基础上,应用性质判断图象的最高点,运算比较繁琐.满分解答(1)点C的坐标为(3,4),直线l的解析式为.(2)①当M在OC上,Q在AB上时,.在Rt△OPM中,OP=t,,所以.在Rt△AQE中,AQ=2t,,所以.于是.因此.②当M在OC上,Q在BC上时,.因为,所以.因此.③当M、Q相遇时,根据P、Q的路程和,解得.因此当M、Q都在BC上,相遇前,,PM=4,.所以.图2图3图4(3)①当时,.因为抛物线开口向上,在对称轴右侧,S随t的增大而增大,所以当时,S最大,最大值为.②当时,.10\n因为抛物线开口向下,所以当时,S最大,最大值为.③当时,.因为S随t的增大而减小,所以当时,S最大,最大值为14.综上所述,当时,S最大,最大值为.考点伸展第(2)题中,M、Q从相遇到运动结束,S关于t的函数关系式是怎样的?此时,.因此.图5例52022年重庆市中考第26题如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t≥0).(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11重庆26”,拖动点A由P向A运动,可以体验到,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形,S随t变化的图象分为四段;观察△AOH的形状,可以体验到,△AOH有5个时刻成为等腰三角形.10\n请打开超级画板文件名“11重庆26”,拖动点t,当t=1时,FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形,这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析;观察△AOH的形状,可以体验到,△AOH有5个时刻成为等腰三角形.思路点拨1.运动全程6秒钟,每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG,思路和思想以及分类的标准尽在图形中.2.用t表示OE、AE、EF、AH的长,都和点E折返前后相关,分两种情况.3.探求等腰三角形AOH,先按顶点分三种情况,再按点E折返前后分两种情况.4.本题运算量很大,多用到1∶2∶,注意对应关系不要错乱.满分解答(1)在Rt△ABC中,,所以∠BAC=30°.如图2,当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,在Rt△BCF中,∠BFC=60°,BC=,所以BF=2.因此PF=3-2=1,运动时间t=1.图2(2)①如图3,当0≤t<1时,重叠部分为直角梯形BCNE,.②如图4,当1≤t<3时,重叠部分为五边形BQMNE,.③如图5,当3≤t<4时,重叠部分为梯形FMNE,.④如图6,当4≤t<6时,重叠部分为等边三角形EFG,.图3图4图5(3)等腰△AOH分三种情况:①AO=AH,②OA=OH,③HA=HO.在△AOH中,∠A=30°为定值,AO=3为定值,AH是变化的.10\n△AEH的形状保持不变,AH=AE.当E由O向A运动时,AE=3-t;当E经A折返后,AE=t-3.图6图7图8①当AO=AH时,解,得(如图7);解,得(如图8).②当OA=OH时,∠AOH=120°,点O与点E重合,t=0(如图9).③当HA=HO时,H在AE的垂直平分线上,AO=AH=3AE.解,得t=2(如图10);解,得t=4(如图11).图9图10图11考点伸展图3,图4中,点E向A运动,EF=6;图5,图6中,点E折返,EF=12-2t.10

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发布时间:2022-08-25 20:09:28 页数:10
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文章作者:U-336598

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