2014年北京市高考数学试卷(文科)
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2014年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.若集合A={0, 1, 2, 4},B={1, 2, 3},则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2.下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=xC.y=lnxD.y=|x|3.已知向量a→=(2, 4),b→=(-1, 1),则2a→-b→=( )A.(5, 7)B.(5, 9)C.(3, 7)D.(3, 9)4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.1B.3C.7D.155.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m, 0),B(m, 0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90∘,则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(试卷第9页,总9页, )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.)9.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则x=________.10.设双曲线C的两个焦点为(-2, 0),(2, 0),一个顶点是(1, 0),则C的方程为________.11.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.12.在△ABC中,a=1,b=2,cosC=14,则c=________;sinA=________.13.若x,y满足y≤1,x-y-1≤0,x+y-1≥0, 则z=3x+y的最小值为________.14.顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由师傅进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________ 个工作日.三、解答题,共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)15.已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.求数列{an}和{bn}的通项公式;试卷第9页,总9页, 求数列{bn}的前n项和.16.函数f(x)=3sin(2x+π6)的部分图象如图所示.1写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;2求f(x)在区间[-π2, -π12]上的最大值和最小值.17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F // 平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.18.从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:排号分组频数1[0, 2)62[2, 4)83[4, 6)174[6, 8)225[8, 10)256[10, 12)127[12, 14)68[14, 16)29[16, 18)2合计100试卷第9页,总9页, (1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论)19.已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.20.已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2, 1]上的最大值;(2)若过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1, 2),B(2, 10),C(0, 2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)试卷第9页,总9页, 参考答案与试题解析2014年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.C2.B3.A4.C5.D6.C7.B8.B二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.210.x2-y2=111.2212.2,15813.114.42三、解答题,共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.设等差数列{an}的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n∈N*),设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n∈N*).由(1)知bn=3n+2n-1.数列{3n}的前n项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×1-2n1-2=2n-1,所以,数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1.16.解:1∵f(x)=3sin(2x+π6),∴f(x)的最小正周期T=2π2=π,可知y0为函数的最大值3,x0=7π6;试卷第9页,总9页, 2∵x∈[-π2, -π12],∴2x+π6∈[-5π6, 0],∴当2x+π6=0,即x=-π12时,f(x)取最大值0,当2x+π6=-π2,即x=-π3时,f(x)取最小值-3.17.(1)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∴BB1⊥AB,∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1,∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连接EG,FG,∵F是BC的中点,∴FG // AC,FG=12AC,∵E是A1C1的中点,∴FG // EC1,FG=EC1,∴四边形FGEC1为平行四边形,∴C1F // EG,∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE,∴C1F // 平面ABE.(3)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,∴AB=3,∴VE-ABC=13S△ABC⋅AA1=13×12×3×1×2=33.18.解:(1)由频率分布表知:1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90,∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为90100=0.9;(2)由频率分布表知:数据在[4, 6)的频数为17,∴频率为0.17,∴a=0.085;数据在[8, 10)的频数为25,试卷第9页,总9页, ∴频率为0.25,∴b=0.125;(3)数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68(小时),∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.19.解:(1)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为x24+y22=1,∴a=2,b=2,c=2,∴椭圆C的离心率e=ca=22;(2)设A(t, 2),B(x0, y0),x0≠0,∵OA⊥OB,∴OA→⋅OB→=0,∴tx0+2y0=0,∴t=-2y0x0,∵x02+2y02=4,∴|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=(x0+2y0x0)2+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x02≤4),∵x022+8x02≥4(0<x02≤4),当且仅当x022=8x02,即x02=4时等号成立,∴|ab|2≥8.∴线段ab长度的最小值为22.20.解:(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3,令f'(x)=0得,x=-22或x=22,∵f(-2)=-10,f(-22)=2,f(22)=-2,f(1)=-1,∴f(x)在区间[-2, 1="">0且g(1)<0,即-3<t<-1时,∵g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,∴g(x)分别在区间[-1, 0),[0, 1)和[1, 2)上恰有1个零点,由于g(x)在区间(-∞, 0)和[1, +∞)上单调,故g(x)分别在区间(-∞, 0)和[1, +∞)上恰有1个零点.综上所述,当过点过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3, -1).(3)过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;理由如下:设过点A(-1, 2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0),则y0=2x03-3x0,且切线斜率为k=6x02-3,∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0),∴2-y0=(6x02-3)(-1-x0),即4x03+6x02-1=0,设g(x)=4x3+6x2-1,则“过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”,等价于“g(x)有3个不同的零点”.∵g'(x)=12x2+12x=12x(x+1),∴g(x)与g'(x)变化情况如下:x(-∞, -1)-1(-1, 0)0(0, +∞)试卷第9页,总9页, g'(x)+0-0+g(x)↗1↘-1↗显然g(x)分别在区间(-∞, -1),[-1, 0]和(0, +∞)上恰有1个零点,∴过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;理由如下:设过点B(2, 10)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0),则y0=2x03-3x0,且切线斜率为k=6x02-3,∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0),∴10-y0=(6x02-3)(2-x0),即x03-3x02+4=0,设g(x)=x3-3x2+4,则“过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切”,等价于“g(x)有2个不同的零点”.∵g'(x)=3x2-6x=3x(x-2),∴g(x)与g'(x)变化情况如下:x(-∞, 0)0(0, 2)2(2, +∞)g'(x)+0-0+g(x)↗4↘0↗显然g(x)分别在区间(-∞, 0)和[2, +∞)上恰有1个零点,∴过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.理由如下:设过点C(0, 2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0),则y0=2x03-3x0,且切线斜率为k=6x02-3,∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0),∴2-y0=(6x02-3)(0-x0),即2x03+1=0,设g(x)=2x3+1,则“过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切”,等价于“g(x)有1个零点”.∵g'(x)=6x2≥0,∴g(x)在R上单调递增,∴g(x)在R只有1个零点,∴过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.试卷第9页,总9页</t<-1时,∵g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11></x02≤4),∵x022+8x02≥4(0<x02≤4),当且仅当x022=8x02,即x02=4时等号成立,∴|ab|2≥8.∴线段ab长度的最小值为22.20.解:(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3,令f'(x)=0得,x=-22或x=22,∵f(-2)=-10,f(-22)=2,f(22)=-2,f(1)=-1,∴f(x)在区间[-2,>
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