2010年北京市高考数学试卷（文科）

2010年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x<3}，M={x∈Z|x2<9}，则P∩M=()A.{1, 2}B.{0, 1, 2}C.{x|0≤x<3}D.{x|0≤x≤3}2.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i3.从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为a，从{1, 2, 3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（）A.45B.35C.25D.154.若a→，b→是非零向量，且a→⊥b→，|a→|≠|b→|，则函数f(x)=(xa→+b→)⋅(xb→-a→)是（    ）A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数5.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为(   ) A.B.C.D.6.给定函数①y=x12，②y=log12(x+1)，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间(0, 1)上单调递减的函数序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④试卷第7页，总7页, 7.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A.2sinα-2cosα+2B.sinα-3cosα+3C.3sinα-3cosα+1D.2sinα-cosα+18.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥P-EFQ的体积（）A.与x，y都有关B.与x，y都无关C.与x有关，与y无关D.与y有关，与x无关二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.已知函数y=log2x，x≥22-x,x<2，如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写________；②处应填写________．试卷第7页，总7页, 10.在△ABC中，若b＝1，c=3，∠C=2π3，则a＝________．11.若点p(m, 3)到直线4x-3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则m=________．12.从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=________．若要从身高在[120, 130)，[130, 140)，[140, 150]内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140, 150]内的学生中选取的人数应为________．13.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．14.（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x, y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为________；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为________说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．三、解答题（共6小题，满分70分）)15.已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx．（1）求f(π3)的值；（2）求f(x)的最大值和最小值．16.已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n项和公式．试卷第7页，总7页, 17.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF // AC，AB=2，CE=EF=1．（1）求证：AF // 平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE．18.设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0)，且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1，4．(I)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(II)若f(x)在(-∞, +∞)无极值点，求a的取值范围．19.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设Q(x, y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．20.已知集合Sn={X|X=(x1, x2, ..., xn), xi∈{0, 1}, i=1, 2, ..., n}(n≥2)对于A=（a1, a2,…an,），B=（b1, b2,…bn,）∈Sn，定义A与B的差为A-B=(|a1-b1|, |a2-b2|,…,|an-bn|)；A与B之间的距离为d(A,B)=i=1n|ai-bi|．（1）当n=5时，设A=(0, 1, 0, 0, 1)，B=(1, 1, 1, 0, 0)，求d(A, B)；（2）证明：∀A，B，C∈Sn，有A-B∈Sn，且d(A-C, B-C)=d(A, B)；（3）证明：∀A，B，C∈Sn，d(A, B)，d(A, C)，d(B, C)三个数中至少有一个是偶数．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2010年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.B2.C3.D4.A5.C6.B7.A8.C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.x<2,y=log2x10.111.-312.0.030,313.(4, 0)，(-4, 0),y=±3x14.4,π+1三、解答题（共6小题，满分70分）15.解：（1）f(π3)=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94；（2）f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3(cosx-23)2-73，x∈R，因为cosx∈[-1, 1]，所以当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=23时，取最小值-73．16.解：(1)设等差数列{an}的公差d．因为a3=-6，a6=0，所以a1+2d=-6，a1+5d=0，解得a1=-10，d=2.所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2=a1+a2+a3=-24，b1=-8，所以-8q=-24，即q=3，所以{bn}的前n项和公式为Sn=b1(1-qn)1-q=4(1-3n).17.证明：（1）设AC于BD交于点G．因为EF // AG，且EF=1，AG=12AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF // EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE试卷第7页，总7页, ，所以AF // 平面BDE．（2）连接FG．因为EF // CG，EF=CG=1，且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE．18.解：由得f'(x)=ax2+2bx+c因为f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以a+2b+c-9=016a+8b+c-36=0(*)(I)当a=3时，又由(*)式得2b+c-6=08b+c+12=0解得b=-3，c=12又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，故f(x)=x3-3x2+12x．(II)由于a>0，所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-∞, +∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞, +∞)内恒成立”．由(*)式得2b=9-5a，c=4a．又△=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)解a>0△=9(a-1)(a-9)≤0得a∈[1, 9]即a的取值范围[1, 9]19.解：（1）因为ca=63，且c=2，所以a=3，b=a2-c2=1所以椭圆C的方程为x23+y2=1（2）由题意知p(0, t)(-1