2012年北京市高考数学试卷（文科）

2012年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合={푥ȁ푥ݔ푥ȁ푥}=，൅ݔ푥ͳ൅，则=ݔݔA.ͳͳݔB.ͳݔͳC.﹙ͳ，﹚D.ݔ൅䁚2.在复平面内，复数对应的点的坐标为()䁚A.ͳݔͳ.Dݔ.Cݔ.Bݔ൅푥ݔ，3.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点൅ݔ，到坐标原点的距离大于ݔ的概率是ͳݔͳA.B.C.D.ݔ4.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为A.ݔ.D.C.Bݔݔݔ푥5.函数푥=푥ݔͳ的零点个数为（）ݔA.൅B.ݔ.CݔD.6.已知{为等比数列，下面结论中正确的是（）A.ݔݔݔݔ.BݔݔݔݔݔC.若ݔ则，ݔ若.Dݔ=ݔ则，=ݔ试卷第1页，总8页 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A.ݔݔ൅.Dݔݔ.C൅.Bݔ8.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为（）A.B.C.D.ݔݔ二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.直线＝푥被圆푥ݔݔ________为长弦的得截＝ݔݔͳݔ．ݔ10.已知{为等差数列，为其前项和，若ݔ则，=ݔ，=ݔ=________，ݔ=________．11.在䁨中，若=，=，=，则䁨的大小为________．12.已知函数푥=lg푥，若=ݔݔ则，ݔ=________．13.已知正方形䁨的边长为ݔ，点是边上的动点．则䁨的值为________．14.已知푥=푥ͳݔ푥，푥=ݔ푥ͳݔ．若푥，或푥䀀൅，则的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)sin푥ͳcos푥sinݔ푥15.已知函数푥=．sin푥ݔ求푥的定义域及最小正周期；ݔ求푥的单调递减区间．试卷第2页，总8页 16.如图ݔ，在䁨中，䁨=൅，，分别为䁨，的中点，点为线段䁨上的一点，将沿折起到ݔ图如，䁨ݔ使，置位的ݔ．ݔ面平：证求ݔ䁨；ݔ：证求ݔ；线段ݔ使，点在存否是上ݔ䁨平面？说明理由．17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计ݔ൅൅൅吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾൅൅ݔ൅൅ݔ൅൅可回收物൅ݔ൅൅其他垃圾ݔ൅ݔ൅൅ݔ试估计厨余垃圾投放正确的概率；ݔ试估计生活垃圾投放错误的概率；假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，，，其中൅，=൅൅．当数据，，的方差ݔ最大时，写出，，的值（结论不要求证明），并求此时ݔ的值．ݔݔݔݔݔ（注：=푥ݔͳ푥푥ݔͳ푥푥ͳ푥，其中푥为数据푥ݔ，푥ݔ，，푥的平均数）18.已知函数푥＝푥ݔݔ൅，푥＝푥푥．（1）若曲线＝푥与曲线＝푥在它们的交点ݔ处有公共切线，求，的值；（2）当＝，＝ͳ时，函数푥푥在区间区ݔ为值大最的上ݔ，求区的取值范围．푥ݔݔݔ19.已知椭圆䁨=ݔ为点顶轴长个一的൅ݔ൅，离心率为，直线ݔݔݔ=区푥ͳݔ与椭圆䁨交于不同的两点，，ݔ求椭圆䁨的方程；ݔ൅ݔ当的面积为时，求区的值．20.设是如下形式的ݔ行列的数表，试卷第3页，总8页 满足性质，，，，，ͳݔݔ，且=൅．记䁚为的第䁚行各数之和䁚=ݔݔ=和之数各列第的为䁨，ݔݔ；记区为ȁݔȁ，ȁݔȁ，ȁݔȁ，ȁݔȁ，ȁȁ中的最小值．（1）对如下数表，求区的值ݔݔͳ൅䁞൅䁞ݔͳ䁞൅ͳݔ（2）设数表形如ݔͳݔݔͳݔͳݔ其中ͳݔ൅．求区的最大值；ܫܫܫ对所有满足性质的ݔ行列的数表，求区的最大值．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2012年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.D2.B3.D4.C5.B6.B7.B8.C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.ݔݔݔ10.ݔ,ݔ11.ݔ12.ݔ13.ݔ14.ͳ൅三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：ݔ由sin푥൅得푥区区，故求푥的定义域为{푥ȁ푥区区．sin푥ͳcos푥sinݔ푥∵푥=sin푥=ݔcos푥sin푥ͳcos푥=sinݔ푥ͳcosݔ푥ͳݔ=ݔsinݔ푥ͳͳݔ，ݔ∴푥的最小正周期==．ݔݔ区ݔ为间区减递调单的푥nis=数函∵ݔ区区，ݔݔ∴由ݔ区ݔ푥ͳݔ区，푥区区，ݔݔ得区푥区，区，∴푥的单调递减区间为：区区区.试卷第5页，总8页 16.ݔ证明：∵，分别为䁨，的中点，∴䁨.又平面ݔ䁨，∴平面ݔ䁨．ݔ证明：由已知得䁨䁨且䁨，∴䁨，∴ݔ.又䁨，∴平面ݔ面平ݔ而，䁨ݔ䁨，∴ݔ.又ݔ䁨，䁨=，∴ݔ平面䁨，∴ݔ．解：线段ݔ使，点在存上ݔ䁨平面．理由如下：如图，分别取ݔ，䁨ݔ的中点，，则䁨．∵䁨，∴，∴平面即为平面．由ݔ面平知ݔ䁨，∴ݔ䁨.又是等腰三角形ݔ䁨底边ݔ䁨的中点，∴ݔ䁨，∴ݔ䁨平面，从而ݔ䁨平面，故线段ݔ使，点在存上ݔ䁨平面．17.解：ݔ൅൅ݔ൅൅为圾垃余厨：知可格表由ݔ൅൅=൅൅（吨），投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾൅൅吨，൅൅ݔ故厨余垃圾投放正确的概率为=.൅൅ݔ有共圾垃活生：知可格表由ݔ൅൅൅吨，生活垃圾投放错误有ݔ൅ݔ൅൅൅൅ݔ൅൅ݔ൅=൅൅（吨），൅൅故生活垃圾投放错误的概率为==൅䁞.ݔ൅൅൅ݔ൅∵=൅൅，∴，，的平均数为ݔ൅൅，ݔݔݔݔݔ∴=ͳݔ൅൅ͳݔ൅൅ͳݔ൅൅ݔ=ݔݔ൅൅ͳݔݔݔ൅൅൅൅ݔ=ݔݔ൅൅൅൅ͳݔݔݔ൅൅൅൅试卷第6页，总8页 ݔݔݔݔ=ͳݔݔ൅൅൅൅.∵ݔݔݔݔݔݔݔݔݔ=ݔ，ݔݔ故൅൅൅൅ͳݔݔ൅൅൅൅=൅൅൅൅，因此有当=൅൅，=൅，=൅时，方差ݔ最大为൅൅൅൅．18.푥＝푥ݔ＝区，푥ݔ＝푥̵则，൅ݔݔ，ݔ푥＝푥푥，则̵푥＝푥ݔ，区＝，ݔ由ݔ：得可，点切共公为ݔ＝①又ݔ＝ݔ，ݔ＝ݔ，∴ݔ＝ݔ，即＝，代入①式，可得：＝，＝．当＝，＝ͳ时，设푥＝푥푥＝푥푥ݔ푥ͳݔ则̵푥＝푥ݔ푥ͳ，令̵푥＝൅，解得：푥ݔ＝ݔ푥，ͳ＝ݔ；∴区ͳ时，函数푥在ͳͳ上单调增，在ͳݔݔ，减调单上ݔ上单调增，所以在区间区ݔ＝ͳ为值大最的上ݔͳ䀀区䀀ݔ于小值大最的上ݔ区间区在푥数函，时ݔ所以区的取值范围是ͳͳݔ19.解：ݔ为点顶个一圆椭∵ݔ൅，离心率为，ݔ=ݔ，ݔ∴=，ݔݔݔ=ݔ，∴=ݔ，푥ݔݔ∴椭圆䁨的方程为=ݔ；ݔ=区푥ͳݔ，ݔݔ푥立联䁨圆椭与ݔͳ푥区=线直ݔ=ݔ，ݔ消元可得ݔ区ݔ푥ݔ区ͳݔ푥ݔ区ݔݔͳ=൅，设푥ݔݔ푥，ݔݔ，区ݔݔ区ݔͳ则푥ݔ区ݔݔ=ݔ푥ݔ푥，ݔ区ݔݔ=ݔ푥ݔ，∴ȁȁ=ݔ푥ݔ푥ͳݔݔ푥ݔ푥ݔ区ݔݔ区ݔ区ݔݔ=，ݔ区ݔݔȁ区ȁ∵ݔͳ푥区=线直到൅ݔ的距离为=，ݔ区ݔݔ区ȁ区ȁݔ∴的面积=ȁȁ=，ݔ区ݔݔݔݔ൅∵的面积为，试卷第7页，总8页 ȁ区ȁ区ݔݔ൅∴=，ݔ区ݔݔ∴区=ݔ．20.解：（1）因为ݔ，ݔ䁞ݔ=ݔ，ݔ䁞ݔͳ=ݔ，ݔ䁞ݔ=ݔ=൅䁞，=ͳݔ䁞，所以区=൅䁞（2）ݔͳݔͳ=，ݔ=ݔ=ݔ，ݔݔͳ=ݔ，ݔͳݔ=ݔ因为ͳݔ൅，所以ȁݔȁȁ，൅ݔȁݔȁ=ȁݔ൅所以区=ݔݔ当=൅时，区取得最大值ݔܫܫܫ任给满足性质的数表（如下所示）任意改变三维行次序或列次序，或把中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质，并且区=区因此，不防设ݔ，൅ݔ，൅ݔ൅，由区的定义知，区ݔ区，ݔ区，ݔ，从而区ݔݔݔ==ͳ=ͳ所以区ݔ由（2）可知，存在满足性质的数表使区=ݔ为值大最的区故，ݔ．试卷第8页，总8页