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2009年北京市高考数学试卷(文科)

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2009年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.设集合A={x|-12<x<2},b={x|x2≤1},则a∪b=()a.{x|-1≤x<2}b.{x|-12<x≤1}c.{x|x<2}d.{x|1≤x<2}2.已知向量a→=(1, 0="">0,则cos&theta;=________.10.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n&isin;N*),则a5=________;前8项的和S8=________.(用数字作答)11.若实数x,y满足x+y-2&ge;0,x&le;4,y&le;5,则s=x+y的最大值为________.12.已知函数f(x)=3xx&le;1-xx&gt;1 若f(x)=2,则x=________.13.椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________,&ang;F1PF2的大小为________.14.设A是整数集的一个非空子集,对于k&isin;A,如果k-1&notin;A且k+1&notin;A,那么称k是A的一个&ldquo;孤立元&rdquo;,给定S={1,&thinsp;2,&thinsp;3,&thinsp;4,&thinsp;5,&thinsp;6,&thinsp;7,&thinsp;8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含&ldquo;孤立元&rdquo;的集合共有________个.三、解答题(共6小题,满分80分))15.已知函数f(x)=2sin(&pi;-x)cosx.求:(1)f(x)的最小正周期;(2)f(x)在区间[-&pi;6,&pi;2]上的最大值和最小值.16.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD&perp;底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC&perp;平面PDB;(2)当PD=2AB,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.17.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间&xi;的分布列及期望.18.设函数f(x)=x3-3ax+b(a&ne;0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,&thinsp;f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.试卷第5页,总6页, 19.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a&gt;0,&thinsp;b&gt;0)的离心率为3,右准线方程为x=33.(1)求双曲线C的方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.20.设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n&isin;N*,&thinsp;P&gt;0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an&ge;m成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若p=12,q=-13,求b3;(Ⅱ)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;(Ⅲ)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m&isin;N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.试卷第5页,总6页, 参考答案与试题解析2009年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.D8.D二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.-3510.16,25511.912.log3213.2,120∘14.6三、解答题(共6小题,满分80分)15.解:(1)∵f(x)=2sin(&pi;-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,&there4;函数f(x)的最小正周期为T=2&pi;2=&pi;.(2)∵-&pi;6&le;x&le;&pi;2,&there4;-&pi;3&le;2x&le;&pi;,&there4;-32&le;sin2x&le;1,&there4;f(x)在区间[-&pi;6,&pi;2]上的最大值为1,最小值为-32.16.证明:∵四边形ABCD是正方形,&there4;AC&perp;BD,∵PD&perp;底面ABCD,&there4;PD&perp;AC,&there4;AC&perp;平面PDB,&there4;平面AEC&perp;平面PDB.设AC&cap;BD=O,连接OE,由(Ⅰ)知AC&perp;平面PDB于O,&there4;&ang;AEO为AE与平面PDB所的角,&there4;O,E分别为DB、PB的中点,&there4;OE&thinsp;//&thinsp;PD,OE=12PD,又∵PD&perp;底面ABCD,&there4;OE&perp;底面ABCD,OE&perp;AO,在Rt△AOE中,OE=12PD=22AB=AO,&there4;&ang;AEO=45∘试卷第5页,总6页, ,即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘.17.解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,∵事件A等于事件&ldquo;这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯&rdquo;,&there4;事件A的概率为P(A)=(1-13)&times;(1-13)&times;13=427(2)由题意可得&xi;可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)事件&ldquo;&xi;=2k&rdquo;等价于事件&ldquo;该学生在路上遇到k次红灯&rdquo;(k=0,&thinsp;1,&thinsp;2,&thinsp;3,&thinsp;4),&there4;P(&xi;=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4),&there4;即&xi;的分布列是&nbsp;&xi;02468P&nbsp;16813281827881181&there4;&xi;的期望是E&xi;=0&times;1681+2&times;3281+4&times;827+6&times;881+8&times;181=8318.解:(1)f&#39;(x)=3x2-3a,∵曲线y=f(x)在点(2,&thinsp;f(2))处与直线y=8相切,&there4;f&#39;(2)=0,f(2)=8,&rArr;3(4-a)=0,8-6a+b=8,&rArr;a=4,b=24.(2)∵f&#39;(x)=3(x2-a)(a&ne;0),当a&lt;0时,f&#39;(x)&gt;0,函数f(x)在(-&infin;,&thinsp;+&infin;)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.当a&gt;0时,由f&#39;(x)=0&rArr;x=&plusmn;a,当x&isin;(-&infin;,-a)时,f&#39;(x)&gt;0,函数f(x)单调递增,当x&isin;(-a,a)时,f&#39;(x)&lt;0,函数f(x)单调递减,当x&isin;(a,+&infin;)时,f&#39;(x)&gt;0,函数f(x)单调递增,&there4;此时x=-a是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.19.解:(1)由题意,得a2c=33ca=3,解得a=1,c=3,&there4;b2=c2-a2=2,&there4;所求双曲线C的方程为x2-y22=1.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,&thinsp;y1),(x2,&thinsp;y2),线段AB的中点为M(x0,&thinsp;y0),由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0(判别式△&gt;0),&there4;x0=x1+x22=m,y0=x0+m=2m,∵点M(x0,&thinsp;y0)在圆x2+y2=5上,试卷第5页,总6页, &there4;m2+(2m)2=5,&there4;m=&plusmn;1.20.(1)由题意,得an=12n-13,解12n-13&ge;3,得n&ge;203.&there4;12n-13&ge;3成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.(2)由题意,得an=2n-1,对于正整数m,由an&ge;m,得n&ge;m+12.根据bm的定义可知当m=2k-1时,bm=k(k&isin;N*);当m=2k时,bm=k+1(k&isin;N*).&there4;b1+b2+...+b2m=(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)=(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m.(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q&ge;m及p&gt;0得n&ge;m-qp.∵bm=3m+2(m&isin;N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有3m+1<m-qp≤3m+2,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.当3p-1>0(或3p-1&lt;0)时,得m&lt;-p+q3p-1(或m&le;-2p+q3p-1),这与上述结论矛盾!当3p-1=0,即p=13时,得-23-q&le;0&lt;-13-q,解得-23&le;q&lt;-13.(经检验符合题意)&there4;存在p和q,使得bm=3m+2(m&isin;N*);p和q的取值范围分别是p=13,-23&le;q&lt;-13.试卷第5页,总6页</m-qp≤3m+2,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.当3p-1></x<2},b={x|x2≤1},则a∪b=()a.{x|-1≤x<2}b.{x|-12<x≤1}c.{x|x<2}d.{x|1≤x<2}2.已知向量a→=(1,>

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发布时间:2021-10-19 17:00:34 页数:6
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文章作者: 真水无香

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