2009年北京市高考数学试卷(文科)
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2009年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.设集合A={x|-12<x<2},b={x|x2≤1},则a∪b=()a.{x|-1≤x<2}b.{x|-12<x≤1}c.{x|x<2}d.{x|1≤x<2}2.已知向量a→=(1, 0="">0,则cosθ=________.10.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5=________;前8项的和S8=________.(用数字作答)11.若实数x,y满足x+y-2≥0,x≤4,y≤5,则s=x+y的最大值为________.12.已知函数f(x)=3xx≤1-xx>1 若f(x)=2,则x=________.13.椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2的大小为________.14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”,给定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.三、解答题(共6小题,满分80分))15.已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.求:(1)f(x)的最小正周期;(2)f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值.16.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当PD=2AB,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.17.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.18.设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.试卷第5页,总6页, 19.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3,右准线方程为x=33.(1)求双曲线C的方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.20.设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*, P>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若p=12,q=-13,求b3;(Ⅱ)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;(Ⅲ)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.试卷第5页,总6页, 参考答案与试题解析2009年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.D8.D二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.-3510.16,25511.912.log3213.2,120∘14.6三、解答题(共6小题,满分80分)15.解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)∵-π6≤x≤π2,∴-π3≤2x≤π,∴-32≤sin2x≤1,∴f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值为1,最小值为-32.16.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.设AC∩BD=O,连接OE,由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,∴O,E分别为DB、PB的中点,∴OE // PD,OE=12PD,又∵PD⊥底面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,在Rt△AOE中,OE=12PD=22AB=AO,∴∠AEO=45∘试卷第5页,总6页, ,即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘.17.解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,∴事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427(2)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4),∴P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4),∴即ξ的分布列是 ξ02468P 16813281827881181∴ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=8318.解:(1)f'(x)=3x2-3a,∵曲线y=f(x)在点(2, f(2))处与直线y=8相切,∴f'(2)=0,f(2)=8,⇒3(4-a)=0,8-6a+b=8,⇒a=4,b=24.(2)∵f'(x)=3(x2-a)(a≠0),当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.当a>0时,由f'(x)=0⇒x=±a,当x∈(-∞,-a)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-a,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,∴此时x=-a是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.19.解:(1)由题意,得a2c=33ca=3,解得a=1,c=3,∴b2=c2-a2=2,∴所求双曲线C的方程为x2-y22=1.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2),线段AB的中点为M(x0, y0),由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0(判别式△>0),∴x0=x1+x22=m,y0=x0+m=2m,∵点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上,试卷第5页,总6页, ∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.20.(1)由题意,得an=12n-13,解12n-13≥3,得n≥203.∴12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.(2)由题意,得an=2n-1,对于正整数m,由an≥m,得n≥m+12.根据bm的定义可知当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).∴b1+b2+...+b2m=(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)=(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m.(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp.∵bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有3m+1<m-qp≤3m+2,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.当3p-1>0(或3p-1<0)时,得m<-p+q3p-1(或m≤-2p+q3p-1),这与上述结论矛盾!当3p-1=0,即p=13时,得-23-q≤0<-13-q,解得-23≤q<-13.(经检验符合题意)∴存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);p和q的取值范围分别是p=13,-23≤q<-13.试卷第5页,总6页</m-qp≤3m+2,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.当3p-1></x<2},b={x|x2≤1},则a∪b=()a.{x|-1≤x<2}b.{x|-12<x≤1}c.{x|x<2}d.{x|1≤x<2}2.已知向量a→=(1,>
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