2007年北京市高考数学试卷（文科）

2007年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知costan，那么角是A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数的反函数的定义域为（）A.䁢B.晦䁢C.䁢晦D.䁢3.函数sinncos的最小正周期是A.B.C.D.4.椭圆晦的焦点为晦，，两条准线与轴的交点分别为，，若晦，则该椭圆离心率的取值范围是（）晦晦A.䁢B.䁢C.，晦D.，晦5.某城市的汽车牌照号码由个英文字母（字母可重复）后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（）A.晦个B.个晦晦C.晦晦个D.晦个n6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）A.B.C.D.或7.平面平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线，，B.存在一条直线，，C.存在两条平行直线，，，，，D.存在两条异面直线，，，，，8.对于函数①lgn晦，②n，③cos，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在n䁢上是减函数，在䁢上是增函数；命题丙：n在n䁢上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A.①③B.①②C.③D.②二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)晦9.̵是晦的导函数，则̵n晦的值是________．10.若数列的前项和n晦晦䁢䁢,…，则此数列的通项公式为________；数列中数值最小的项是第________项．试卷第1页，总7页 11.已知向量䁢，晦䁢晦，若向量，则实数的值是________．晦12.在䳌中，若tan，晦，䳌，则䳌________．13.年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为晦，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，那么cos的值等于________．14.已知函数，分别由下表给出晦晦晦晦晦则晦的值为________；当时，________．三、解答题（共6小题，满分80分）)n15.记关于的不等式的解集为，不等式n晦晦的解集为．晦晦若，求；若，求正数的取值范围．16.数列中，晦，晦㌳（㌳是常数，晦，，，…），且晦，，成公比不为晦的等比数列．（1）求㌳的值；（2）求的通项公式．17.如图，在䳌䳌中，䳌䳌，斜边䳌．䳌可以通过䳌䳌以直线䳌为轴旋转得到，且二面角䳌n䳌n是直二面角．动点在斜边䳌上．（1）求证：平面䳌平面䳌䳌；试卷第2页，总7页 （2）当为䳌的中点时，求异面直线䳌与所成角的余弦值大小；（3）求与平面䳌䳌所成角最大时的正切值大小．18.某条公共汽车线路沿线共有晦晦个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（1）这位乘客在其不相同的车站下车的概率；（2）这位乘客中恰有人在终点站下车的概率．19.如图，矩形䳌的两条对角线相交于点䁢，䳌边所在直线的方程为nn点n晦䁢晦在边所在直线上．（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形䳌外接圆的方程；（3）若动圆过点n䁢，且与矩形䳌的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．20.已知函数函与的图象相交于䁢，䳌䁢，，分晦晦晦别是的图象在，䳌两点的切线，，分别是，与轴的交点．晦（1）求函的取值范围；（2）设为点的横坐标，当晦时，写出以晦为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（3）试比较䳌与䳌的大小，并说明理由（䳌是坐标原点）．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2007年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.B3.B4.D5.A6.C7.证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确8.D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.10.n晦晦,11.n12.晦13.14.晦,晦三、解答题（共6小题，满分80分）n15.解：晦由，晦得n晦．n晦晦．由，得n晦，又，再结合图形，∴，即的取值范围是䁢．16.解：（1）晦，㌳，㌳，因为晦，，成等比数列，所以㌳㌳，解得㌳或㌳．当㌳时，晦，不符合题意舍去，故㌳．试卷第4页，总7页 （2）当时，由于n晦㌳，n㌳，nn晦n晦㌳，n晦所以n晦晦n晦㌳㌳．又，㌳，故n晦n䁢,．晦当晦时，上式也成立，所以n晦䁢,17.解：（1）由题意，䳌䳌，䳌䳌䳌，∴䳌䳌是二面角䳌n䳌n是直二面角，又∵二面角䳌n䳌n是直二面角，∴䳌䳌䳌，又∵䳌䳌䳌䳌，∴䳌平面䳌䳌，又䳌平面䳌，∴平面䳌平面䳌䳌．（2）解法一：作䳌䳌，垂足为，连接（如图），则䳌，∴是异面直线䳌与所成的角．晦在䳌中，䳌䳌䳌，䳌䳌䳌晦，∴䳌䳌．晦又䳌．∴∴在中，cos．∴异面直线䳌与所成角的余弦值大小为．解法二：建立空间直角坐标系䳌n，如图，则䳌䁢䁢，䁢䁢，䁢䁢，䁢晦䁢，∴䳌䁢䁢，n䁢晦䁢，∴cos䳌，䳌．∴异面直线䳌与所成角的余弦值为．试卷第5页，总7页 （3）由（1）知，䳌平面䳌䳌，∴䳌是与平面䳌䳌所成的角，䳌且tan䳌．当䳌最小时，䳌最大，这时，䳌䳌，垂足为，䳌䳌䳌䳌䳌䳌，tan䳌，䳌∴与平面䳌䳌所成角的最大时的正切值为．18.解：（1）∵每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，∴本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是名乘客选一个车站下车，共有晦种结果，而满足条件的事件是位乘客在其不相同的车站下车共有种结果，晦晦∴根据古典概型公式得到晦晦．晦（2）∵每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，∴本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是名乘客选一个车站下车，共有晦种结果，而满足条件的位乘客中恰有人在终点站下车有种结果，其他三人在其余个车站下车的可能有，共有∴根据古典概型公式得到晦ͳ．晦19.解：（1）因为䳌边所在直线的方程为nn，且与䳌垂直，所以直线的斜率为n又因为点n晦䁢晦在直线上，所以边所在直线的方程为n晦n晦．．nn（2）由解得点的坐标为䁢n，因为矩形䳌两条对角线的交点为䁢．所以为矩形䳌外接圆的圆心．又n．从而矩形䳌外接圆的方程为nͳ．（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即n．试卷第6页，总7页 故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距㌳．所以虚半轴长㌳n．从而动圆的圆心的轨迹方程为n晦n．函20.解：（1）由方程消得n函．①依题意，该方程有两个正实根，函nͳ故解得函．晦函（2）由̵，求得切线晦的方程为晦n晦晦，晦晦由晦晦，并令，得n，晦，是方程①的两实根，晦函n函nͳ且晦，故晦，函，函函nͳ晦是关于函的减函数，所以晦的取值范围是䁢．是关于晦的增函数，定义域为䁢，所以值域为n䁢．晦晦（3）当晦时，由（2）可知䳌n．晦晦晦晦类似可得䳌n．䳌n䳌n．晦由①可知晦．从而䳌n䳌．当晦时，有相同的结果䳌n䳌．所以䳌䳌．试卷第7页，总7页