2025届高三一轮复习 第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行热点专题六　有约束条件的平抛运动练习

热点专题六　有约束条件的平抛运动素养目标　1.会分析平抛运动与斜面、圆弧面结合的约束条件，并根据约束条件求解相关问题。2.会处理平抛运动的临界、极值问题。热点一　与斜面或圆弧面有关的平抛运动运动情景物理量分析vy＝gt，tan&theta;＝＝&rarr;t＝x＝v0t，y＝gt2&rarr;tan&theta;＝&rarr;t＝tan&theta;＝＝&rarr;t＝落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为&phi;，tan&phi;＝＝＝＝2tan&theta;，&alpha;＝&phi;－&theta;tan&theta;＝＝&rarr;t＝在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t考向　对着竖直墙壁水平抛出例1(2023&middot;广东六校联考)如图1所示，某次训练时将乒乓球发球机置于地面上方某一合适位置，正对竖直墙面水平发射乒乓球。现有两个质量相同乒乓球a和b,以不同速度水平射出，碰到墙面时下落的高度之比为9∶16，不计阻力，则乒乓球a和b(　　)图1A.碰墙前运动时间之比为9∶16B.重力对两乒乓球的冲量大小之比为9∶16C.重力对两乒乓球做功之比为3∶4D.初速度之比为4∶3答案　D解析　乒乓球做平抛运动，根据h＝gt2可得乒乓球碰墙前运动时间之比为3∶4，故A错误；根据冲量的定义I＝Ft可得重力对两乒乓球的冲量大小之比为3∶4，故B错误；根据重力做功WG＝mgh可知重力对两乒乓球做功之比为9∶16，故C错误；根据x＝v0t可得两乒乓球做平抛运动的初速度之比为4∶3，故D正确。考向　斜面上的平抛问题例2如图2所示，两小球a、b分别从斜面顶端和斜面中点沿水平方向抛出，均落在斜面底端。不计空气阻力，关于两小球在平抛过程中的判断正确的是(　　)图2A.小球a、b到达斜面底端时的速度方向不相同B.小球a、b在空中飞行时间之比为2∶1C.小球a、b抛出时的初速度之比为1∶1D.小球a、b离斜面的最大距离之比为2∶1答案　D解析　小球落在斜面底端时，有＝＝tan&theta;，可得＝＝2tan&theta;,，根据平抛运动规律有vx＝v0，vy＝gt，可知两球速度夹角的正切值相等，故小球a、b到达斜面底端时的速度方向相同，故A错误；设两小球初速度分别为va、vb，到达斜面底端时水平分位移为xa、xb，由图可知＝2，＝2，由h＝gt2可得＝，由x＝v0t可得＝，故B、C错误；当速度方向与斜面方向平行时，到斜面距离最大，将初速度和加速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有a&perp;＝gcos&theta;，v&perp;＝v0sin&theta;，设在垂直斜面方向的最大距离为l，则有2a&perp;l＝v，得l＝&prop;v，所以小球a、b离斜面的最大距离之比为2∶1，故D正确。跟踪训练1.如图3所示，倾斜角为&theta;的斜面AB，在A点的正上方高度为H的P点以水平初速度v0抛出一个物体M，物体M恰好垂直落到斜面上，现在A点正上方2H的Q点水平抛出另一个物体N，这个物体N也能垂直落在斜面上，那么物体N的初速度为(　　)图3A.2v0B.v0C.v0D.v0答案　D解析　如图，物体M从A点正上方H处的O点平抛，初速度为v0，设经时间t垂直打在斜面上，水平位移为x，则x＝v0t，H－xtan&theta;＝gt2，＝tan&theta;，联立可解得v0＝，同理可得，物体N的初速度vN＝＝v0，故D正确。,考向　与圆弧有关的圆周运动例3如图4所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为&alpha;。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　)图4A.B.C.D.答案　A解析　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为&alpha;。由tan&alpha;＝，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确。跟踪训练2.如图5所示，科考队员站在半径为10m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37&deg;，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2m。取sin37&deg;＝0.6，cos37&deg;＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为(　　),图5A.9m/sB.12m/sC.15m/sD.18m/s答案　C解析　由题意可知，小石子竖直方向的位移为h＝h1＋Rsin37&deg;，又h＝gt2，代入数据解得t＝1.2s。小石子水平方向的位移为x＝R＋Rcos37&deg;，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15m/s，故C正确。热点二　平抛运动中的临界、极值问题临界点的确定(1)若题目中有&ldquo;刚好&rdquo;&ldquo;恰好&rdquo;&ldquo;正好&rdquo;等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。(2)若题目中有&ldquo;取值范围&rdquo;&ldquo;多长时间&rdquo;&ldquo;多大距离&rdquo;等词语，表明题述的过程中存在着&ldquo;起止点&rdquo;，而这些&ldquo;起止点&rdquo;往往就是临界点。(3)若题目中有&ldquo;最大&rdquo;&ldquo;最小&rdquo;&ldquo;至多&rdquo;&ldquo;至少&rdquo;等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。例4如图6所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的厚度d＝0.4m，某人在离墙壁距离L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的初速度水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力。则可以实现上述要求的速度大小是(　　)图6A.2m/sB.4m/sC.8m/sD.9m/s答案　B解析　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝,vmaxt，h＝gt2，代入数据解得vmax＝7m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有H＋h＝gt&prime;2，L＋d＝vmint&prime;，代入数据解得vmin＝3m/s，故v的取值范围是3m/s&le;v&le;7m/s，故B正确。跟踪训练3.(2020&middot;全国Ⅱ卷，16)如图7所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(　　)图7A.20B.18C.9.0D.3.0答案　B解析　由题意可知，当在a点动能为E1时，有E1＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，h＝v1t1；当在a点时动能为E2时，有E2＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，3h＝v2t2，联立以上各式可解得＝18，故选项B正确。A级　基础对点练对点练1　与斜面或圆弧面有关的平抛运动1.(2023&middot;河北衡水模拟)如图1甲所示，足够长的斜面AB,固定放置，一小球以不同初速度v0从斜面A点水平抛出，落在斜面上的位置离A点距离为s，得到s－v02图线如图乙所示，若图乙的斜率为k，则k等于(　　)图1A.B.C.D.答案　A解析　根据平抛运动的规律可得scos&theta;＝v0t，ssin&theta;＝gt2，得到s＝v，则k＝，故A正确。2.如图2，小球在倾角为&theta;的斜面上方O点处以速度v0水平抛出，落在斜面上的A点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g，根据上述条件不可以求出(　　)图2A.小球由O点到A点的时间B.O点距离地面的高度C.小球在A点速度的大小D.小球从O点到A点的水平距离答案　B解析　小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知，tan&theta;＝，故t＝，选项A正确；由时间t可根据y＝gt2求得小球下降高度，而计算不出O,点离地面高度，选项B错误；由平行四边形定则知vA＝，选项C正确；小球从O点到A点的水平距离x＝v0t＝，选项D正确。3.(2023&middot;江苏泗洪县洪翔中学模拟)如图3所示，斜坡AB的倾角&theta;＝45&deg;，将一个小球从距A点高h＝0.45m的水平台面上以一定的初速度v0水平抛出，小球运动到A点时的速度方向恰与斜坡AB平行。不计空气阻力，g取10m/s2，则初速度v0的大小为(　　)图3A.1m/sB.2m/sC.3m/sD.4m/s答案　C解析　小球运动到A点时的速度方向恰与倾角&theta;＝45&deg;的斜坡AB平行，则小球的水平速度与竖直速度等大，由2gh＝v，可得vy＝3m/s，则初速度为v0＝vy＝3m/s，故A、B、D错误，C正确。4.(2023&middot;山东模拟预测)如图4所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为&theta;，那么小球完成这段飞行的时间是(　　)图4,A.B.C.D.答案　C解析　根据几何关系可知，水平速度与末速度的夹角为&theta;，则有tan&theta;＝，解得vy＝v0tan&theta;，根据vy＝gt，解得t＝，A、B错误；在水平方向有Rsin&theta;＝v0t，解得t＝，D错误，C正确。5.(2022&middot;广东卷&middot;3)如图5是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是(　　)图5答案　C解析　设斜坡倾角为&theta;，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin&theta;＝ma1，可得a1＝gsin&theta;；运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0；运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度，即a3＝g,，则a1<a3；设在p点的速度为v0，则从p点飞出后速度大小的表达式为v＝。由分析可知从p点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，c正确，a、b、d错误。对点练2>0.45m，所以球越过了网，且落地时间为t&prime;＝＝s＝0.8s，则落地的水平位移为x&prime;＝vt&prime;＝16&times;0.8m＝12.8m，因为击球点到对方底线的距离为x&Prime;＝4.8m＋9m＝13.8m&gt;12.8m，所以球落在对方场地内，故B正确。10.(2023&middot;江苏南通高三开学考)如图10所示，&ldquo;高台跳水投球&rdquo;,项目：选手从跳水板的末端由静止下落，下落过程中抛出球，球直接落入筐即可得分。该选手在跳板上双手举球，球到水面高度H＝7.2m，筐距离水面高度h＝2.2m，球距筐水平距离x＝2m，重力加速度g＝10m/s2。(下落过程中人和球视为质点，不计空气阻力，人的质量远大于球的质量)图10(1)选手离开跳板时将球水平抛出并得分，求抛球速度v0；(2)选手落至球筐等高处时抛球，人落水时球刚好进筐，求抛出时球相对水面的速度大小v1。答案　(1)2m/s　(2)m/s解析　(1)选手离开跳板时将球水平抛出并得分，则由平抛运动规律得H－h＝gt2，x＝v0t解得v0＝2m/s。(2)由题意知，球抛出到进框运动的时间&Delta;t等于人从球框等高处运动到水面所用时间，则&Delta;t＝－＝0.2s设球抛出相对水面的水平方向速度为v1x，则有x＝v1x&Delta;t设球抛出相对水面的竖直方向速度为v1y，有v1y＝g&middot;&Delta;t抛出时球相对水面的速度大小v1为v1＝解得v1＝m/s。,11.(2022&middot;北京房山模拟)跳台滑雪比赛时，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图11所示。测得A、B间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为37&deg;。sin37&deg;＝0.6，cos37&deg;＝0.8，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，试计算：图11(1)运动员在空中的飞行时间t；(2)运动员在A处水平飞出时的速度大小vA；(3)运动员着陆时的速度大小vB。答案　(1)3s　(2)20m/s　(3)10m/s解析　(1)运动员的竖直位移大小为y＝sAB&middot;sin37&deg;＝gt2解得t＝3s。(2)运动员的水平位移大小为x＝sAB&middot;cos37&deg;＝60m运动员在A处水平飞出时速度大小为vA＝＝20m/s。(3)运动员在B点的竖直分速度大小为vBy＝gt＝30m/s根据速度的合成可得vB＝＝10m/s。</a3；设在p点的速度为v0，则从p点飞出后速度大小的表达式为v＝。由分析可知从p点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，c正确，a、b、d错误。对点练2>