2025届高三一轮复习 第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行第1讲　曲线运动　运动的合成与分解练习

【知识网络】第1讲　曲线运动　运动的合成与分解素养目标　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.掌握运动的合成与分解这一处理曲线运动的重要思想方法。一、曲线运动1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。2.运动的性质：由于曲线运动中的速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。3.运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。二、运动的合成与分解,1.遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵从矢量运算法则——平行四边形定则。2.合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。3.运动性质的判断加速度(或合力)→→基础自测1.下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，则其中可能正确的是(　　)答案　B解析　船头垂直指向对岸时，由速度的合成可知，合速度偏向下游，故A、C错误；小船要想横渡过河，船头应向上游有一定的偏角，使得船在静水中沿上游河岸的速度分量与河水的速度大小相等，方向相反，合速度垂直河岸，渡河位移最短，故B正确；船头偏向下游时，合速度的方向与河水流动的方向间的夹角应为锐角，故D错误。2.汽车在水平地面转弯时，坐在车里的小云发现车内挂饰偏离了竖直方向，如图1,所示。设转弯时汽车所受的合外力为F，关于本次转弯，下列图示可能正确的是(　　)图1答案　A解析　根据题图可知，车内的挂饰偏向了右方，则汽车正在向左转弯，由于汽车做曲线运动，所以合力F指向轨迹的内侧，故A正确，B、C、D错误。考点一　曲线运动的条件和特征1.运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。2.速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系(1)速度方向与运动轨迹相切。(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。3.速率变化的判断,跟踪训练1.(2023·湖北武汉市适应性考试)关于曲线运动，下列叙述正确的是(　　)A.做曲线运动的物体，速度可能不变B.做曲线运动的物体，所受的合外力可能为零C.如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动D.因为曲线运动的速度在不断变化，所以曲线运动不可能是匀变速运动答案　C解析　曲线运动的速度方向时刻变化，故A错误；物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力与速度方向不在一条直线上，所以做曲线运动的物体所受合外力一定不为零，故B错误；物体不受外力，由于惯性而持续的运动一定是匀速直线运动，不可能是曲线运动，故C正确；曲线运动可以是匀变速曲线运动，如平抛运动，故D错误。2.(2023·江苏高邮市第一中学高三月考)如图2为质点做匀变速曲线运动的轨迹示意图，已知A、B、C分别是质点在轨迹上的不同位置，质点在B处时速度最小，A、C两点到B点距离相等。则(　　)图2A.质点受力方向在B点发生变化B.质点在C处的速度可能与A处相同C.质点从A到B、B到C速度变化大小和方向都相同D.质点在A、C两处的加速度方向与速度方向的夹角相同答案　C解析　质点做匀变速曲线运动，加速度不变，受力方向在B点不发生变化，故A,错误；质点在C处的速度方向与A处的速度方向不同，故B错误；加速度不变，则速度变化方向不变，A、C两点到B点距离相等，则质点从A到B、B到C速度变化大小相同，故C正确；质点在B处时速度最小，则从A到B做减速运动，从B到C做加速运动，质点在A、C两处的加速度方向与速度方向的夹角不同，故D错误。考点二　运动的合成与分解两个直线运动的合运动性质的判断依据：看合初速度方向与合加速度方向是否共线。两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v0合与a合共线，为匀变速直线运动如果v0合与a合不共线，为匀变速曲线运动例1(2023·扬州调研)在水平桌面上放置一张纸，画有如图3所示的平面直角坐标系，一个涂有颜料的小球沿y轴正方向运动(不计球与纸间的摩擦)，经过原点O时，白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，经过一段时间，纸面上留下的痕迹可能为(　　)图3答案　A,解析　白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，等效为小球相对于白纸在x方向上沿x轴负方向做匀加速直线运动，即水平方向上的合力指向x轴负方向；小球在y方向上沿y轴正方向做匀速直线运动，故总的合力指向x轴负方向，指向轨迹内侧，小球的合运动为匀变速曲线运动(类平抛)，A正确。跟踪训练3.(2023·江苏淮南模拟)雨滴在空中以4m/s的速度匀速竖直下落，某同学打伞以3m/s的速度匀速向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面，则伞柄应指的方向为(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(　　)A.向西倾斜，与竖直方向成53°角B.向西倾斜，与竖直方向成37°角C.向东倾斜，与竖直方向成37°角D.向东倾斜，与竖直方向成53°角答案　B解析　以伞面为参考系，雨滴同时有水平向东和竖直向下的分速度，如图所示，则有tanθ＝，解得θ＝37°，可知伞柄应指的方向为向西倾斜，与竖直方向成37°角，B正确，A、C、D错误。考点三　小船渡河模型1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。3.两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝,渡河位移最短如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于考向　渡河时间问题例2(2023·江西吉安联考)有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为t，若小船以最短时间过河，所用的时间为t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　河水流动的速度为v0，小船在静水中的运动速度大小为v，设河宽为d，当船以最短时间过河时，则有t＝，以最短位移过河时，则有t＝，解得＝，选项A正确。考向　水速大于船速问题例3如图4所示，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为(　　),图4A.v1sinθB.v1cosθC.v1tanθD.答案　A解析　如图所示，设小船航行时在静水中速度为v2，当v2垂直AB时v2最小，由三角函数关系可知v2＝v1sinθ，故A正确，B、C、D错误。考点四　绳(杆)端速度分解模型1.模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。2.解题原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图5所示。图5考向　绳端速度分解模型例4如图6所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B,连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　)图6A.物体A做匀加速运动B.物体A做匀速运动C.FT小于mgsinθD.FT大于mgsinθ答案　D解析　由图可知绳端的速度v绳＝vsinα，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，v绳变大，因此物体A做加速运动，FT大于mgsinθ，故D正确，A、B、C错误。考向　杆端速度分解模型例5曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件，如图7所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)图7A.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0,B.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0C.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0D.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0答案　A解析　当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P和活塞的速度均分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，则此时v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误。跟踪训练4.如图8所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程下列判断正确的是(　　)图8A.重物M做匀速直线运动B.重物M做匀变速直线运动C.重物M的最大速度是ωLD.重物M的速度一直增大答案　C解析　设C点的线速度方向与绳子延长线之间的夹角为θ(锐角)，则由图可知，在长杆的匀速转动过程中，θ由90°开始逐渐减小，当长杆与绳子垂直时减小到0，随着长杆继续转动至水平，θ又由0开始增大。由线速度与角速度的关系式可知，C点的线速度大小为vC＝ωL，将其分解为沿着绳子延长线方向的速度v1和垂直延长线方向的速度v2，可得v1＝vCcosθ＝ωLcosθ，则重物M的速度vM＝v1＝ωLcosθ，由于θ由90°减小到零又逐渐增大，则vM先增大，再减小，最大速度为ωL。A、B、D错误，C正确。,A级　基础对点练对点练1　曲线运动的条件和特征1.一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保持第三个力大小和方向均不变。关于该物体此后的运动，下列说法正确的是(　　)A.不可能做圆周运动B.可能做圆周运动C.可能继续做匀速直线运动D.一定做匀变速直线运动答案　A解析　撤去两个力后，保持第三个力大小和方向均不变，而做圆周运动的物体所受的合力是变力，所以不可能做圆周运动，故A正确，B错误；若撤去两个力后，物体受到的合力与速度的方向共线，则物体做匀变速直线运动；当合力与速度不共线，则物体做曲线运动，故C、D错误。2.下列关于力与运动的叙述中正确的是(　　)A.物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，加速度也变化B.物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C.物体运动的速率在增加，所受合力方向与运动方向夹角小于90°D.物体在变力作用下有可能做曲线运动，做曲线运动的物体一定受到变力作用答案　C解析　物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，A错误；若物体做变速圆周运动，则存在一个切向加速度，合力不指向圆心，B错误；合力方向与运动方向夹角小于90°时合力做正功，速度增大，C正确；如果变力与速度方向不共线，则做曲线运动，但做曲线运动的物体受到的合力可以为恒力，如平抛运动，D错误。对点练2　运动的合成与分解3.(2023·北京西城区期末)如图1所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02m/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y,坐标值分别为0.25m和0.10m。则此时(　　)图1A.玻璃管的速度的大小为0.05m/sB.玻璃管的加速度的大小为0.04m/s2C.蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0D.蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0答案　C解析　蜡块水平方向做匀加速运动，则at2＝0.25m，竖直方向做匀速运动v0t＝0.1m，解得t＝5s，vx＝0.1m/s，a＝0.02m/s2，选项A、B错误；由x＝at2＝0.01t2，y＝v0t＝0.02t，消掉t解得x－25y2＝0，选项C正确，D错误。4.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图2所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)图2A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力无关D.运动员着地速度与风力无关答案　C解析,　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落和水平方向随风飘，两个分运动同时发生，相互独立；则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，选项A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的运动不变，则下落时间和竖直方向落地速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误。对点练3　小船渡河模型5.一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图3所示。下列说法错误的是(　　)图3A.沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动B.AD是匀减速运动的轨迹C.沿AC轨迹渡河所用时间最短D.小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大答案　D解析　船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起匀速运动，曲线运动的加速度方向指向轨迹的内侧，故AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，同理可知，AB轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀减速运动，沿AD轨迹，船做匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，故A、B正确，D错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，所以沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确。6.(2023·江苏泗洪县洪翔中学模拟)一条小船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽为30m的河，河水流速恒为4m/s，则这条船(　　)A.过河的最短时间为6sB.过河的时间不可能小于10sC.过河的最小位移是30m,D.不可能渡过这条河答案　B解析　当船头始终垂直河岸时，过河时间最短为tmin＝＝s＝10s，故A、D错误，B正确；根据平行四边形定则，由于船在静水中的速度小于水流速度，则合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到达对岸，故位移不可能为30m，C错误。对点练4　绳(杆)端速度分解模型7.如图4所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳与水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是(　　)图4A.P的速率为vB.P的速率为vcosθ2C.绳的拉力等于mgsinθ1D.绳的拉力小于mgsinθ1答案　B解析　将小车速度沿绳和垂直绳方向分解为v1、v2，P的速率vP＝v1＝vcosθ2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsinθ1，C、D错误。8.如图5所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为(　　)图5,A.B.vsinθC.D.vcosθ答案　C解析　将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得v0＝，选项C正确，A、B、D错误。B级　综合提升练9.如图6，水平桌面上乒乓球沿直线AB匀速运动，一同学在桌边用吹管欲将球吹进桌面上的球门C，AB垂直BC。在B处对准C吹气，未成功，下列情形可能成功的是(　　)图6A.仅增大吹气力度B.将球门沿直线CB向B靠近C.将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气D.将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气答案　C解析　原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，仅增大吹气力度，只能加快BC方向速度变化，不能使球进入球门，故A错误；将球门C沿直线CB向B点移动一小段距离，与原方案一样，不能落入球门，故B错误；将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气，到达BC所在直线位置时乒乓球已经沿垂直AB,方向运动了一段距离，根据运动的合成与分解的知识可知，球可能落入球门中，故C正确；将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气，乒乓球只能做直线运动，不会进入球门，故D错误。10.甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图7所示，已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是(　　)图7A.乙船先到达对岸B.若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变C.不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点D.若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离大于L答案　B解析　将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝，故A错误；若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变，故B正确；河水流速v0大于甲船速度时，甲船不能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，船在静水中的速度不变，则两船之间的距离仍然为L，故D错误。11.(2023·江苏灌南高级中学模拟)如图8甲，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图像如图丙。若以地面为参考系，下列说法中正确的是(　　)图8,A.猴子在第1s内的速度变化量大于第2s内的速度变化量B.猴子在2s内做匀变速直线运动C.t＝0时猴子的速度大小为6m/sD.猴子在2s内的加速度大小为3m/s2答案　D解析　由图乙知，猴子沿竖直杆做匀减速直线运动，其加速度和初速度分别为ay＝＝－3m/s2，v0y＝6m/s，由图丙知沿水平地面做匀速直线运动，其速度为vx＝＝－3m/s，可知物体的加速度大小为a＝ay＝－3m/s2，所以猴子在2s内的加速度大小为3m/s2；猴子的速度变化量为Δv＝aΔt，由此可知猴子在第1s内的速度变化量等于第2s内的速度变化量，故A错误，D正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝3m/s，由于加速度与速度不共线，所以猴子在2s内做匀变速曲线运动，故B、C错误。12.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)(　　)图9A.B.C.D.答案　D解析　设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝①物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cosα②由于对应同一根绳，其长度不变，故,v绳B＝v绳A③联立①②③式，解得vB＝，选项D正确。