2025届高三一轮复习 第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行第2讲　抛体运动的规律练习

第2讲　抛体运动的规律素养目标　1.掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解分析平抛运动。2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。一、平抛运动1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动。(2)竖直方向：自由落体运动。4.基本规律如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴方向，竖直向下为y轴方向建立平面直角坐标系。图1(1)位移与时间的关系(2)速度与时间的关系二、一般的抛体运动1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。,3.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)图2(1)水平方向：v0x＝v0cos__θ，F合x＝0。(2)竖直方向：v0y＝v0sin__θ，F合y＝mg。基础自测1.(2023·福建宁德质检)射箭比赛中，运动员水平射箭击中了靶心，可以推断，击发时箭头的方向对准了(　　)A.靶心B.比靶心高一点的位置C.比靶心低一点的位置D.靶心偏右一点的位置答案　B解析　射出去的箭在飞行过程中受到重力的作用，运行的轨迹不是直线，而是一条向下倾斜的弧线；运动员水平射箭击中了靶心，可以推断，击发时箭头的方向对准了比靶心高一点的位置。故B项正确，A、C、D项错误。2.某生态公园的人造瀑布景观如图3所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的(　　)图3A.B.,C.D.答案　B解析　由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为实际的，则由h＝gt2，得t＝，所以时间变为实际的，水流出的速度v＝，由于水平位移变为实际的，时间变为实际的，则水流出的速度为实际的，故B正确。考点一　平抛运动基本规律的应用1.飞行时间由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。2.水平射程x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。3.落地速度v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向间的夹角，有tanθ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。4.速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示。,图45.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝。图5(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tanθ＝2tanα。例1小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小为10m/s，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地高度为1.25m，g＝10m/s2，忽略空气阻力，则射出的水(　　)A.在空中的运动时间为0.25sB.水平射程为6mC.落地时的速度大小为15m/sD.落地时竖直方向的速度大小为5m/s答案　D,解析　根据h＝gt2得，运动时间t＝＝s＝0.5s，故A错误；水平射程为x＝v0t＝10×0.5m＝5m，故B错误；竖直方向分速度为vy＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s，水平分速度为vx＝v0＝10m/s，落地速度为v＝＝5m/s，故C错误，D正确。跟踪训练1.(2022·广东卷，6)如图6所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　)图6A.将击中P点，t大于B.将击中P点，t等于C.将击中P点上方，t大于D.将击中P点下方，t等于答案　B解析　由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，有t＝，故B正确。,考点二　多物体平抛运动问题三类常见的多体平抛运动1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。2.若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。3.若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。例2如图7所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则(　　)图7A.A和B的位移相同B.A的运动时间是B的2倍C.A的初速度是B的D.A的末速度比B的大答案　D解析　位移为初位置到末位置的有向线段，A球位移xA＝＝l，B球位移xB＝＝l，A和B的位移大小相等，方向不同，A错误；平抛运动的时间由高度决定，即tA＝＝2，tB＝，则A的运动时间是B的倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝＝，vxB＝＝，则A的初速度是B的，C错误；小球A、B,在竖直方向上的速度分别为vyA＝2，vyB＝，所以可得vA＝，vB＝＝，即vA＞vB，D正确。跟踪训练2.如图8所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9m时，在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为(　　)图8A.6mB.3mC.3mD.1m答案　D解析　由题知，两小球均做平抛运动，同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，两球始终在同一水平面上，根据x＝vAt＋vBt知，x不变，当两球的抛出速度都变为原来的3倍时，两球从抛出到相遇经过的时间变为，根据h＝gt2，H＝g，得H＝＝1m，故D正确。考点三　斜抛运动的理解和分析对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。例3如图9所示，从水平地面上的A、B两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前方竖直墙面上的同一点P。已知点P距地面的高度h＝0.8m，A、B两点距墙的距离分别为0.8m和0.4m。不计空气阻力，则从A、B两点抛出的两小球(　　),图9A.从抛出到击中墙壁的时间之比为2∶1B.击中墙面的速率之比为1∶1C.抛出时的速率之比为∶2D.抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1∶2答案　D解析　两小球做逆向平抛运动的时间由高度决定，即两小球运动时间相等，A错误；两小球水平位移xA＞xB，运动时间相等，故击中墙面时vA＞vB，B错误；由平抛运动规律可知，A球抛出时速度大于B球抛出时速度，C错误；两小球位移与水平方向夹角正切值之比为1∶2，而速度方向与水平方向夹角正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍，D正确。跟踪训练3.(2023·江苏镇江高三开学考试)如图10所示，某同学将一篮球斜向上抛出，篮球恰好垂直击中篮板反弹后进入球筐，忽略空气阻力，若抛射点远离篮板方向水平移动一小段距离，仍使篮球垂直击中篮板相同位置，且球不会与篮筐相撞，则下列方案可行的是(　　)图10A.增大抛射速度，同时减小抛射角B.减小抛射速度，同时减小抛射角C.增大抛射角，同时减小抛出速度D.增大抛射角，同时增大抛出速度答案　A,解析　把篮球的运动逆向分析为平抛运动，根据题意可知，篮球竖直方向上的位移不变，水平方向上的位移增大，由公式v＝2gh和x＝vxt可得，应保持vy不变，vx变大，设抛出的初速度为v0，抛射角为θ，则有vy＝v0sinθ，vx＝v0cosθ，可知，需要增大抛射速度，同时减小抛射角。故A正确。A级　基础对点练对点练1　平抛运动基本规律的应用1.“套圈圈”是小孩和大人都喜爱的一种游戏，游戏规则是：游戏者站在界外从手中水平抛出一个圆形圈圈，落下后套中前方的物体，所套即所得。小孩站立抛出圈圈并套取了前方一物体，若大人也抛出圈圈并套取了前方同一物体，忽略空气阻力，则(　　)A.大人站在小孩同样的位置，以等大的速度抛出圈圈B.大人站在小孩同样的位置，以较小的速度抛出圈圈C.大人退后并下蹲至与小孩等高，以等大的速度抛出圈圈D.大人退后并下蹲至与小孩等高，以较小的速度抛出圈圈答案　B解析　圈圈做平抛运动，则x＝v0t，h＝gt2，解得v0＝x，大人的高度h较大，则大人站在小孩同样的位置，水平位移x相同，则v0较小，即大人以较小的速度抛出圈圈，A错误，B正确；大人退后并下蹲至与小孩等高，即h相同，x变大，则v0要变大，即大人要以较大的速度抛出圈圈，C、D错误。2.(2023·江苏徐州模拟)某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1(如图1所示)，则减排前、后单位时间内的排水量之比(　　),图1A.B.C.D.答案　A解析　设管的横截面积为S，则排水量为V排＝SL，L＝vt，设减排前，水流速为v1，则t时间内排水量V排1＝Sv1t＝Sx0，设减排后，水流速为v2，则t时间内排水量V排2＝Sv2t＝Sx1，减排前、后单位时间内的排水量之比＝，故A正确。3.有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图2所示。一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)。不计空气阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是(　　)图2A.小球下落时间与小球质量m有关B.小球下落时间与小球初速度v有关C.小球下落时间与水井井口直径d有关D.小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关答案　D解析　小球在竖直方向的运动为自由落体运动，根据分运动的独立性，由h＝gt2知，小球下落时间仅与水井井口到水面高度差h有关，D项正确。,对点练2　多物体平抛运动问题4.(2023·江苏扬州高三开学考)如图3所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法不正确的是(　　)图3A.甲同学比乙同学先将篮球抛出B.两篮球相遇前，乙同学抛出的篮球在空中运动的时间短C.若甲、乙同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方D.若甲同学抛球时与乙同学高度相同，且同时抛出，落地前不一定能相遇答案　C解析　根据h＝gt2可知，平抛运动的高度决定时间，甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，两篮球在空中的P点相遇，可知甲同学比乙同学先将篮球抛出，即甲同学抛出的篮球运动时间长，乙同学抛出的篮球运动时间短，故A、B正确；若抛球的速度变为原来的2倍，说明两球运动时间变短，且时间差减小，说明相遇点不在P点正上方，故C错误；两球抛出的高度和初速度未知，所以两球可能不会相遇，故D正确。5.如图4所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)图4A.a和b的初速度大小之比为∶1,B.a和b在空中运动的时间之比为2∶1C.a和c在空中运动的时间之比为∶1D.a和c的初速度大小之比为2∶1答案　C解析　根据t＝可知a和b在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和b的初速度大小之比为1∶，选项A、B错误；根据t＝可知a和c在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和c的初速度大小之比为∶1，选项C正确，D错误。对点练3　斜抛运动6.(2021·浙江1月选考，9)某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图5所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是(　　)图5A.相邻位置运动员重心的速度变化相同B.运动员在A、D位置时重心的速度相同C.运动员从A到B和从C到D的时间相同D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间答案　A解析　由于运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，故可以利用斜抛运动规律分析，根据Δv＝gΔt(其中Δt为曝光的时间间隔)知，相邻位置运动员重心速度变化相同，所以A项正确；A、D位置速度大小相等，但方向不同，所以B项错误；从A到B为5个时间间隔，而从C到D为6个时间间隔，所以C项错误；据斜抛运动规律，当A、D处于同一水平高度时，从A,点上升到最高点的时间与从最高点下降到D点的时间相等，所以C点为轨迹的最高点，D项错误。7.(2023·江苏宝应中学模拟)在一次海上消防救援过程中，消防船启动了多个喷水口进行灭火，喷水口所处高度和口径都相同，出水轨迹如图6甲所示。其中两支喷水枪喷出水A、B的轨迹在同一竖直面内且最高点高度相同，如图乙所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)图6A.水A在空中运动时间较长B.水A在最高点的速度较大C.水落到海面时A的速度比B的速度小D.水落到海面时A的速度变化量比B的速度变化量大答案　B解析　因为两个喷水口高度相同，且两条水柱的轨迹最高点相同，根据竖直上抛运动规律v＝2gh可知水喷出时的竖直分速度相等，又因为最终两条水柱在竖直方向的位移相同，且加速度都等于重力加速度，所以在空中运动时间相同，再根据Δv＝gΔt可知水落到海面时A、B的速度变化量相同，故A、D错误；设喷出A、B轨迹的两支喷水枪方向与水平方向的夹角分别为α和β，水喷出时的初速度大小分别为vA和vB，可知vAsinα＝vBsinβ，由图可知α<β，所以vA>vB，vAcosθ>vBcosβ，在最高点时的速度等于水平速度，所以水A在最高点的速度较大，故B正确；两条水柱落到海面时的竖直分速度大小相等，而A的水平分速度大于B的水平分速度，所以水落到海平面时A的速度大于B的速度，故C错误。B级　综合提升练8.(2021·江苏卷，9)如图7所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　　),图7A.A比B先落入篮筐B.A、B运动的最大高度相等C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同答案　D解析　将A、B篮球的运动过程逆向看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，所以A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。9.如图8所示，某一小球以v0＝20m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点。在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10m/s2)。以下判断中正确的是(　　)图8A.小球经过A点时竖直方向的速度为20m/sB.小球经过A、B两点间的时间为t＝2(－1)sC.A、B两点间的高度差h＝45mD.A、B两点间的水平位移相差40－20(m)答案　B,解析　根据平行四边形定则知vAy＝v0＝20m/s，vBy＝v0tan60°＝20m/s，则小球由A到B的时间t＝＝s＝2(－1)s，故A错误，B正确；A、B两点间的高度差h＝＝m＝40m，故C错误；A、B两点间的水平位移相差Δx＝v0t＝20×2(－1)m＝40(－1)m，故D错误。10.(2022·北京卷)体育课上，甲同学在距离地面高h1＝2.5m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0＝8.0m/s；乙同学在离地h2＝0.7m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m＝0.3kg，取重力加速度g＝10m/s2。不计空气阻力。求：图9(1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；(2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；(3)排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。答案　(1)4.8m　(2)10.0m/s　方向与水平方向夹角的正切值为0.75　(3)6.0N·s解析　(1)设排球在空中飞行的时间为t，则h1－h2＝gt2解得t＝0.6s则排球在空中飞行的水平距离x＝v0t＝4.8m。(2)乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小vy＝gt，得vy＝6.0m/s根据v＝得v＝10.0m/s速度方向左偏下，设速度方向与水平方向夹角为θ，则有tanθ＝＝0.75。(3)根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I＝2mv＝6.0N·s。11.(2022·山东枣庄模拟)滑雪比赛场地如图10甲，可简化为如图乙所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为α＝30°的斜面顶端O,点以v0＝20m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为θ＝60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2。求：图10(1)运动员从A点运动到B点的时间；(2)O、C两点间的距离。答案　(1)1s　(2)40m解析　(1)A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为t1，由斜抛运动规律，竖直方向上有v0sin(θ－α)＝gt1解得t1＝1s运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，如图所示，到B点时速度方向平行于斜面向下。垂直斜面方向，有v1＝v0sinθ，a1＝gcosαt2＝解得t2＝2s则运动员从A点运动到B点的时间Δt＝t2－t1＝1s。(2)解法1　设运动员落在斜面的D点，由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O,到B与B到D所用时间相等，平行于斜面方向xOD＝v2·2t2＋a2(2t2)2v2＝v0cosθ，a2＝gsinα小球在水平方向做匀速直线运动，则C为OD中点，则x＝xOD代入数据解得O、C间的距离x＝40m。解法2　小球在水平方向做匀速直线运动，有xOB＝v0cos(θ－α)t2由几何关系可得x＝解得x＝40m。